Открыть главное меню

Конечнопорождённая абелева группа — абелева группа, заданная конечной системой образующих, то есть такая коммутативная группа , для которой существует конечный набор , такой что существует представление:

,

где  — целые числа.

Конечнопорождённые абелевы группы имеют сравнительно простую структуру и могут быть полностью классифицированы, возможность свести к ним рассмотрение тех или иных объектов считается ценной. Примеры — целые числа и числа по модулю , любое прямое произведение конечного числа конечнопорождённых абелевых групп также является конечнопорождённой абелевой группой. Согласно теореме о классификации[⇨], других (с точностью до изоморфизма) конечнопорождённых абелевых групп нет. Например, группа рациональных чисел не является конечнопорожденной: если бы существовала порождающая система , то достаточно было бы взять натуральное число , взаимно простое со всеми знаменателями чисел из системы, чтобы получить , не порождаемое системой .

КлассификацияПравить

Теорема о классификации конечнопорожденных абелевых групп (являющаяся частным случаем классификации конечнопорожденных модулей над областью главных идеалов) утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа   изоморфна прямому произведению простых циклических групп и бесконечных циклических групп, где простая циклическая группа — это такая циклическая группа, чей порядок является степенью простого числа. Что значит, что каждая такая группа изоморфна группе вида:

 ,

где  , и числа   являются (не обязательно различными) степенями простых чисел. Значения   однозначно определены (с точностью до порядка) группой  , в частности,   конечна тогда и только тогда, когда  .

На основании того факта что   будет изоморфно произведению   и   тогда и только тогда, когда   и   взаимно просты и  , мы также можем представить любую конечнопорождённую группу   в форме прямого произведения

 ,

где   делит  , который делит   и так далее до  . И снова, числа   и   однозначно заданы группой  .

ЛитератураПравить

  • Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А.  Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.