Открыть главное меню

Норма (математика)

(перенаправлено с «Норма вектора»)

ОпределениеПравить

Норма вектораПравить

Норма в векторном пространстве   над полем вещественных или комплексных чисел — это функционал  , обладающий следующими свойствами:

  1.  
  2.   (неравенство треугольника);
  3.  

Эти условия являются аксиомами нормы.

Векторное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1—3) — также аксиомами нормированного пространства.

Из аксиом нормы очевидным образом вытекает свойство неотрицательности нормы:

 .

Действительно, из третьего свойства следует:  , а из свойства 2 —  .

Чаще всего норму обозначают в виде:  . В частности,   — это норма элемента   векторного пространства  .

Вектор с единичной нормой   называется единичным или нормированным.

Любой ненулевой вектор   можно нормировать, то есть разделить его на свою норму: вектор   имеет единичную норму. С геометрической точки зрения это значит, что мы берем сонаправленный вектор единичной длины.

Норма матрицыПравить

Основная статья: Норма матрицы

Нормой матрицы   называется вещественное число  , удовлетворяющее первым трём из следующих условий:

  1.  , причём   только при  ;
  2.  , где  ;
  3.  ;
  4.  .

Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется субмультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы субмультипликативны.

Матричная норма   из   называется согласованной с векторной нормой   из   и векторной нормой   из   если справедливо:

 

для всех  .

Норма оператораПравить

Основная статья: Операторная норма

Норма оператора   — число, которое определяется так:

 ,
где   — оператор, действующий из нормированного пространства   в нормированное пространство  .

Это определение эквивалентно следующему:

 
  • Свойства операторных норм:
  1.  , причём   только при  ;
  2.  , где  ;
  3.  ;
  4.  .

В конечномерном случае, оператору в некотором базисе соответствует матрица — матрица оператора. Если норма на пространстве(пространствах), где действует оператор, допускает одно из стандартных выражений в базисе, то свойства нормы оператора повторяют аналогичные свойства нормы матрицы.

Свойства нормыПравить

  1.  
  2.  
  3.   [косинус угла]
  4.  
  5.  

Эквивалентность нормПравить

  • Две нормы   и   на пространстве   называются эквивалентными, если существует две положительные константы   и   такие, что для любого   выполняется  . Эквивалентные нормы задают на пространстве одинаковую топологию. В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны.

ПримерыПравить

Линейные нормированные пространстваПравить

 
Изображение единичных окружностей для различных норм.
 
  • Гёльдеровы нормы  -мерных векторов (семейство):  ,

где   (обычно подразумевается, что это натуральное число). В частности:

  •  , что также имеет название метрика L1, норма   или манхэттенское расстояние. Для вектора представляет собой сумму модулей всех его элементов.
  •  , что также имеет название метрика L2, норма   или евклидова норма. Является геометрическим расстоянием между двумя точками в многомерном пространстве, вычисляемым по теореме Пифагора.
  •   (это предельный случай  ).
  • Аналогично можно ввести нормы для конечномерных векторных функций конечномерных векторных аргументов, заменив   на  , а интегрирование по отрезку интегрированием по области (максимум же на отрезке — в соответствующем случае — максимумом на области).

  «норма»Править

Особым случаем является   (L0-«норма»), определяемая как количество ненулевых элементов вектора. Строго говоря, это не является нормой, так как не выполняется третья аксиома нормы. В основном таким видом «нормы» пользуются в задачах разреженного кодирования, в частности в Compressive sensing, где нужно найти наиболее разреженное представление вектора (с наибольшим количеством нулей), то есть с наименьшей  -нормой. С помощью этой «нормы» может быть определенно расстояние Хэмминга.

Некоторые виды матричных нормПравить

  • Порожденные нормы  :
    •  :  -норма,  
    •   (евклидова норма) и   (квадратные матрицы), подчиненная норма матрицы называется спектральная норма. Спектральная норма матрицы   равна наибольшему сингулярному числу матрицы   или квадратному корню из наибольшего собственного числа положительно полуопределённой матрицы  :  , где   обозначает матрицу, сопряжённую к матрице  .
    •  :  -норма  
Здесь   — сопряжённая к   матрица,   — след матрицы.
  • Поэлементная  -норма ( ):  
    • Норма Фробениуса:  .

Связанные понятияПравить

Топология пространства и нормаПравить

Норма задаёт на пространстве метрику (в смысле — функцию расстояния метрического пространства), порождая таким образом метрическое пространство, а значит топологию, базой которой являются всевозможные открытые шары, то есть множества вида  . Понятия сходимости, определённой на языке теоретико-множественной топологии в такой топологии и определённой на языке нормы, при этом совпадают.

См. такжеПравить