Открыть главное меню

Предги́льбертово простра́нство — линейное пространство с определённым на нём скалярным произведением. Оно не обязательно полно, в отличие от гильбертова пространства. Широко используется в функциональном анализе и смежных дисциплинах.

Содержание

ОпределениеПравить

Пара   называется предгильбертовым пространством, если   — линейное пространство, а   — определённое на   скалярное произведение. (Обычно подразумевается скалярное произведение в обычном смысле, то есть положительно определённое.)

НормаПравить

Предгильбертово пространство можно считать нормированным, так как скалярное произведение порождает естественную норму:

 .

В случаях, когда скалярное произведение не является строго положительно определённым, а именно выбрано так, что может быть нулем при ненулевых   (чего бывает трудно избежать в некоторых бесконечномерных случаях), то указанное выше выражение даёт не норму, а только полунорму.

СвойстваПравить

Теорема фон Неймана — Йордмана: если в полунормированном пространстве   справедлив закон параллелограмма, то   — предгильбертово, то есть существует (и притом единственное) скалярное произведение   такое, что  .

ПримерПравить

В теории рядов Фурье широкое распространение находит предгильбертово пространство вещественных функций, интегрируемых с квадратом

 

если скалярное произведение определить как

 

Введённое таким образом скалярное произведение даёт не норму, а лишь полунорму, если не отождествить функции, отличающиеся лишь на множестве меры нуль (как это делается при стандартном построении пространства L2).

См. такжеПравить