Обсуждение:Базис

Untitled

Может правильно сделать основную статью про конечномерный случай, а про базис Гамеля и базис Шраудера сделать отдельные статьи. --Тоша 02:47, 12 января 2008 (UTC)

Вопрос законный, но не могу согласиться - понятие базиса (Гамеля) вводится сразу в общем случае. Доказывается существование, независимость мощности от выбора базиса и определяется конечномерность и, соответственно, бесконечномерность. Поэтому конечномерность - производное понятие от базиса (Гамеля). Нет другого определения конечномерности (в линейной алгебре). А вот базис Шаудера появляется вместе с топологией. Его можно было бы отдельно. Я об этом тоже думал - и отказался. Аргумент такой: у 80% пользователей в этом месте в башке полная путаница (я оптимист). Если дать в статье базис только базис Гамеля, то породим глубокое непонимание. Линейные базисы в бесконечномерном случае используются редко, поэтому надо сразу объяснить, чем отличаются линейные базисы от базисов в разложением в ряды. Полезно также сразу понять, что базис Шаудера существует не всегда (и вообще его существование - нетривиальный вопрос, требующий специальных конструкций и т.д.). --Agor153 16:06, 12 января 2008 (UTC)

PS. Кстати, мне не нравится статья про базис в английской Википедии. Оцените путаницу: "A basis B of a vector space V is a linearly independent subset of V that spans (or generates) V.

In more detail, suppose that B = { v1, …, vn } is a finite subset of a vector space V over a field F (such as the real or complex numbers R or C). Then B is a basis if it satisfies the following conditions: the linear independence property, for all a1, …, an ∈ F, if a1v1 + … + anvn = 0, then necessarily a1 = … = an = 0; and the spanning property, for every x in V it is possible to choose a1, …, an ∈ F such that x = a1v1 + … + anvn.

Сначала базис, потом конечное множество (In more detail),... Потом, впрочем, появляются бесконечные, а также базис Гамеля и базис Шаудера. Так что и там всё вместе :).--Agor153 16:22, 12 января 2008 (UTC)

Да, там плохо, я рад что у нас теперь хорошо... ;) --Тоша 19:34, 12 января 2008 (UTC)

;) Все счастливы! А, если честно, трудная это задача - писать энциклопедические статьи, и совершенство не то что недостижимо, а даже непредставимо. Это должно быть что-то: одновременно и японское двустишие, и лихой лимерик, и разудалая частушка - все в одном, и четко, и понятно ;). Посмотрел специально Математичекую Энциклопедию - там большие сложные статьи бывают очень хороши, а всё это мелкое энциклопедическое хозяйство тоже временами хромает, даже списать неоткуда ;)! --Agor153 23:21, 12 января 2008 (UTC)

Я прошу прощения, но хотел спросить, а в бесконечномерном пространстве можно ввести базис Гамеля? Ведь бесконечномерность означает именно, то, что базис в этом пространстве имеет счетную мощность и потому нет конечного множества элементов, таких, что каждый элемент пространства можно было бы представить как линейную их комбинацию. MyWikiNik 16:43, 7 июня 2013 (UTC)

В бесконечномерных пространствах и базис Гамеля бесконечен (по определению конечномерности/бесконечномерности). В большинстве интересных случаев он даже несчетен. Впрочем, есть исключения: например, в пространстве всех полиномов от переменного x мономы $x^{n}$ (n=0,1,2,...) образуют счетный базис Гамеля. А вот уже в обычных пространствах последовательностей или функций базис Гамеля имеет мощность континуума.Agor153 19:20, 7 июня 2013 (UTC)

Таки породили в моей "башке полную путаницу". В следствии "Каждое линейное пространство обладает базисом" разве не нужно уточнение "банахово"?--Redish 13:25, 15 сентября 2015 (UTC)

линейно не зависемых

Убрал "линейно не зависемых", добавленное анонимом. Он просто не дочитал до единственности представления в виде линейной комбинации, которая влечет линейную независимость.--Agor153 16:32, 22 января 2008 (UTC)

В классической теории линейной алгебры независимость предполагается по определению, единственность разложения доказывается теоремой. Это более логично и проще, предлагаю внести поправку. QuaiGonJinne 09:18, 8 июня 2012 (UTC)Илья

С одной стороны, спорить не о чем: тот же шар - вид сбоку... С другой стороны, все же чаще буквально так, как в статье. Под рукой файл учебника Мальцева. Цитирую: "Пусть M - какое-нибудь множество векторов линейного пространства L. Система векторов $a_{l},a_{2},...$ этого множества называется системой образующих для M , если всякий вектор из M может быть выражен линейно через какое-либо конечное число векторов $a_{l},a_{2},...$. Линейно независимая система образующих для M называется базой или базисом множества M ." Базис определен как линейно независимая система образующих._Agor153 19:34, 7 июня 2013 (UTC)

Простите, здесь Вы правы, а Мальцев как раз, как Вы хотели, а я запроверялся экзаменами :).Agor153 19:37, 7 июня 2013 (UTC)