Открыть главное меню

Правильный n-мерный многогранник — многогранники n-мерного евклидова пространства, которые являются наиболее симметричными в некотором смысле. Правильные трёхмерные многогранники называются также платоновыми телами.

Содержание

ИсторияПравить

Классификация правильных многомерных многогранников была получена Людвигом Шлефли.[1]

ОпределениеПравить

Флагом n-мерного многогранника   называется набор его граней  , где   есть  -мерная грань многогранника Р, причем   для  .

Правильный n-мерный многогранник — это выпуклый n-мерный многогранник  , у которого для любых двух его флагов   и   найдётся движение  , переводящее   в  .

КлассификацияПравить

Размерность 4Править

Существует 6 правильных четырёхмерных многогранников (многоячейников):

Название Изображение
(диаграмма Шлегеля)
Символ
Шлефли
Ячейка Число
ячеек
Число
граней
Число
рёбер
Число
вершин
Пятиячейник   {3,3,3} правильный
тетраэдр
5 10 10 5
Тессеракт   {4,3,3} куб 8 24 32 16
Шестнадцатиячейник   {3,3,4} правильный
тетраэдр
16 32 24 8
Двадцатичетырёхячейник   {3,4,3} октаэдр 24 96 96 24
Стодвадцатиячейник   {5,3,3} додекаэдр 120 720 1200 600
Шестисотячейник   {3,3,5} правильный
тетраэдр
600 1200 720 120

Размерности 5 и вышеПравить

В каждой из более высоких размерностей существует по 3 правильных многогранника (политопа):

Название Символ Шлефли
n-мерный
правильный симплекс
{3;3;...;3;3}
n-мерный
гиперкуб
{4;3;...;3;3}
n-мерный
гипероктаэдр
{3;3;...;3;4}

Геометрические свойстваПравить

УглыПравить

Двугранный угол между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника, заданного своим символом Шлефли  , определяется по формуле[2][3][4]:

 

где   — половина угла между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника

Радиусы, объёмыПравить

Радиус вписанной N-мерной сферы:

 

где   — радиус вписанной (N-1)-мерной сферы грани.

Объём N-мерного многогранника:

 

где   — объём (N-1)-мерной грани,   — количество (N-1)-мерных граней.

ЗамощенияПравить

В размерности n = 4Править

В размерности n ≥ 5Править

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Schläfli, L. (1901). "Theorie der vielfachen Kontinuität". Denkschriften der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft. 38: 1–237.
  2. Sommerville D.M.Y. An Introduction to the Geometry of n Dimensions. — London, 1929. — С. 189. — 196 с.
  3. Coxeter H.S.M. Regular Polytoopes. — London, 1948. — С. 134. — 321 с.
  4. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. — Наука, 1966. — С. 193.

СсылкиПравить