Открыть главное меню
Пятиячейник
Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) пятиячейника в трёхмерное пространство
Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) пятиячейника в трёхмерное пространство
Тип Правильный четырёхмерный политоп
Символ Шлефли {3,3,3}
Ячеек 5
Граней 10
Рёбер 10
Вершин 5
Вершинная фигура Правильный тетраэдр
Двойственный политоп Он же (самодвойственный)
Проекция вращающегося пятиячейника в трёхмерное пространство

Пра́вильный пятияче́йник, или просто пятияче́йник[1], или пентахор (от др.-греч. πέντε — «пять» и χώρος — «место, пространство»), — один из правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве: правильный четырёхмерный симплекс.

Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов[2]. Символ Шлефли пятиячейника — {3,3,3}.

Двойственен сам себе. В отличие от пяти других правильных многоячейников, не имеет центральной симметрии.

Используется в физико-химическом анализе для изучения свойств многокомпонентных систем[3].

Содержание

ОписаниеПравить

Ограничен 5 трёхмерными ячейками — одинаковыми правильными тетраэдрами. Любые две ячейки — смежные; угол между ними равен  

Его 10 двумерных граней — одинаковые правильные треугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.

Имеет 10 рёбер равной длины. На каждом ребре сходятся по 3 грани и по 3 ячейки.

Имеет 5 вершин. В каждой вершине сходятся по 4 ребра, по 6 граней и по 4 ячейки. Любые 2 вершины соединены ребром; любые 3 вершины принадлежат одной грани; любые 4 вершины принадлежат одной ячейке.

Пятиячейник можно рассматривать как правильную четырёхмерную пирамиду с тетраэдрическим основанием.

В координатахПравить

Первый способ расположенияПравить

Пятиячейник можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты          

При этом точка   будет центром вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.

Второй способ расположенияПравить

В пятимерном пространстве возможно разместить пятиячейник так, чтобы все его вершины имели целые координаты:          

Центром вписанной, описанной и полувписанных гиперсфер при этом будет точка  

Ортогональные проекции на плоскостьПравить

Метрические характеристикиПравить

Если пятиячейник имеет ребро длины   то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

 
 

Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен

 

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

 

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

 

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —

 

Неправильные пятиячейникиПравить

Иногда словом «пятиячейник» может обозначаться не только правильный, но и произвольный четырёхмерный симплекс.

ПримечанияПравить

  1. Д. К. Бобылёв. Четырехмерное пространство // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  2. George Olshevsky. Pentachoron // Glossary for Hyperspace.
  3. Александр Семёнов. Многогранный пентатоп // Наука и жизнь. — 2018. — № 5. — С. 66-74.

СсылкиПравить