Открыть главное меню
Стереографическая проекция параллелей гиперсферы (красная), меридианов (синий) и гипермеридианов (зелёный). В связи с конформными свойствами стереографической проекции, кривые пересекаются друг с другом ортогонально (в жёлтых точках), как в 4D. Все кривые являются окружностями: кривые, которые пересекаются <0,0,0,1> имеют бесконечный радиус (то есть являются прямыми).

Трёхмерная сфера, или трёхмерная гиперсфера, иногда 3-сфера, — сфера в четырёхмерном пространстве. Состоит из множества точек, равноудалённых от фиксированной центральной точки в четырёхмерном евклидовом пространстве. Так же, как двумерная сфера, которая образует границу шара в трёх измерениях, 3-сфера имеет три измерения и является границей четырёхмерного шара.

Содержание

УравнениеПравить

В декартовых координатах   трёхмерная сфера радиуса   может быть задана уравнением

 

Рассматривая комплексное пространство   как вещественное  , уравнение сферы может быть рассмотрено как

 

Аналогично, в пространстве кватернионов  :

 

Являясь трёхмерным многообразием, трёхмерная сфера может быть задана параметрически с использованием трёх координат. Примером являются гиперсферические координаты:

 
 
 
 

СвойстваПравить

Трёхмерная сфера   является границей четырёхмерного шара.

Трёхмерная сфера является компактным связным трёхмерным многообразием. Трёхмерная сфера односвязна, то есть любая замкнутая кривая на неё может быть непрерывно стянута в точку.

Трёхмерная сфера гомеоморфна одноточечной компактификации трёхмерного вещественного пространства  .

Групповая структураПравить

Являясь множеством единичных кватернионов, трёхмерная сфера наследует групповую структуру.

Таким образом, сфера   является группой Ли. Среди  -мерных сфер таким свойством обладают только   и  .

Используя матричное представление кватернионов, можно определить представление группы   с помощью матриц Паули:

 

Поэтому группа   изоморфна матричной группе Ли  .

Действие группы U(1) и расслоение ХопфаПравить

Основная статья: Расслоение Хопфа

Если определить действие группы  :

 

то пространство орбит гомеоморфно двумерной сфере  . При этом на сфере   возникает структура расслоения с базой   и слоями, гомеоморфными  , то есть окружности  . Это расслоение называется расслоением Хопфа.[1]

Расслоение Хопфа является примером нетривиального главного расслоения. В координатах оно задаётся формулой

 

Точка (z1, z2) сферы   отображается в точку [z1: z2] комплексной проективной прямой CP1, которая диффеоморфна двумерной сфере  .

Гомотопические группы сферыПравить

Односвязность сферы означает, что первая гомотопическая группа  . Также нулевой является группа  .

ПримечанияПравить

  1. Постников М. М. Лекции по алгебраической топологии, с. 20. — Москва, Наука, 1984.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М., 1989.

СсылкиПравить

  • Weisstein, Eric W. Hypersphere (англ.) на сайте Wolfram MathWorld(англ.) Примечание: В данной статье используются альтернативные схемы именования для сфер, в которых сфера в N-мерном пространстве называется N-сферой.