Трёхмерная сфера

Трёхмерная сфе́ра (трёхмерная гиперсфе́ра, иногда 3-сфе́ра) — сфера в четырёхмерном пространстве. Состоит из множества точек, равноудалённых от фиксированной центральной точки в четырёхмерном евклидовом пространстве. Так же, как двумерная сфера, которая образует границу шара в трёх измерениях, 3-сфера имеет три измерения и является границей четырёхмерного шара.

Стереографическая проекция параллелей гиперсферы (красная), меридианов (синий) и гипермеридианов (зелёный). В связи с конформными свойствами стереографической проекции кривые пересекаются друг с другом ортогонально (в жёлтых точках), как в 4D. Все кривые являются окружностями: кривые, которые пересекаются в <0,0,0,1>, имеют бесконечный радиус (то есть являются прямыми).

Уравнение

В декартовых координатах $(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})$ трёхмерная сфера радиуса $r$ может быть задана уравнением

$(x_{0}-C_{0})^{2}+(x_{1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2}+(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2}.$

Рассматривая комплексное пространство $\mathbb {C} ^{2}$ как вещественное $\mathbb {R} ^{4}$, уравнение сферы может быть рассмотрено как

$S^{3}=\left\{(z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} ^{2}:|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}=1\right\}.$

Аналогично, в пространстве кватернионов $\mathbb {H} ^{1}$:

$S^{3}=\left\{q\in \mathbb {H} :\|q\|=1\right\}.$

Являясь трёхмерным многообразием, трёхмерная сфера может быть задана параметрически с использованием трёх координат. Примером являются гиперсферические координаты:

$x_{0}=r\cos \psi ,$

$x_{1}=r\sin \psi \cos \theta ,$

$x_{2}=r\sin \psi \sin \theta \cos \phi ,$

$x_{3}=r\sin \psi \sin \theta \sin \phi .$

Свойства

Трёхмерная сфера $S^{3}$ является границей четырёхмерного шара.

Трёхмерная сфера является компактным связным трёхмерным многообразием. Трёхмерная сфера односвязна, то есть любая замкнутая кривая на ней может быть непрерывно стянута в точку.

Трёхмерная сфера гомеоморфна одноточечной компактификации трёхмерного вещественного пространства $\mathbb {R} ^{3}$.

Групповая структура

Являясь множеством единичных кватернионов, трёхмерная сфера наследует групповую структуру.

Таким образом, сфера $S^{3}$ является группой Ли. Среди $n$-мерных сфер таким свойством обладают только $S^{1}$ и $S^{3}$.

Используя матричное представление кватернионов, можно определить представление группы $S^{3}$ с помощью матриц Паули:

$x_{1}+x_{2}i+x_{3}j+x_{4}k\mapsto {\begin{pmatrix}\;\;\,x_{1}+ix_{2}&x_{3}+ix_{4}\\-x_{3}+ix_{4}&x_{1}-ix_{2}\end{pmatrix}}.$

Поэтому группа $S^{3}$ изоморфна матричной группе Ли $\mathrm {SU} (2)$.

Действие группы U(1) и расслоение Хопфа

Основная статья: Расслоение Хопфа

Если определить действие группы $U(1)$:

$(z_{1},z_{2})\cdot \lambda =(z_{1}\lambda ,z_{2}\lambda )\quad \forall \lambda \in \mathbb {U} (1),$

то пространство орбит гомеоморфно двумерной сфере $S^{2}$. При этом на сфере $S^{3}$ возникает структура расслоения с базой $S^{2}$ и слоями, гомеоморфными $U(1)$, то есть окружности $S^{1}$. Это расслоение называется расслоением Хопфа.

Расслоение Хопфа является примером нетривиального главного расслоения. В координатах оно задаётся формулой

$p:(z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1}:z_{2}).$

Точка (z₁, z₂) сферы $S^{3}$ отображается в точку [z₁: z₂] комплексной проективной прямой CP¹, которая диффеоморфна двумерной сфере $S^{2}$.

Гомотопические группы сферы

Односвязность сферы означает, что первая гомотопическая группа $\pi _{1}(S^{3})=\{0\}$. Также нулевой является группа $\pi _{2}(S^{3})=\{0\}$.

См. также

• Гипотеза Пуанкаре

Литература

• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М., 1989.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Hypersphere (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. (англ.) Примечание: В данной статье используются альтернативные схемы именования для сфер, в которых сфера в N-мерном пространстве называется N-сферой.