Открыть главное меню

Матрицы Паули

Ма́трицы Па́ули — это набор из трёх эрмитовых и одновременно унитарных 2×2 матриц, составляющий базис в пространстве всех эрмитовых 2×2 матриц с нулевым следом. Были предложены Вольфгангом Паули для описания спина электрона в квантовой механике. Матрицы имеют вид

Вместо иногда используют обозначение и .

Часто также употребляют матрицу

совпадающую с единичной матрицей .

Матрицы Паули вместе с матрицей образуют базис в пространстве всех эрмитовых матриц 2×2 (а не только матриц с нулевым следом).

СвойстваПравить

Основные соотношенияПравить

  • Эрмитовость:  
  • Равенство нулю следа:  
  •   где   — единичная матрица размерности 2×2.
  • Унитарность:  
  • Определитель матриц Паули равен −1.
  • Алгебра, порождённая элементами  , изоморфна алгебре кватернионов  .

Правила умножения матриц Паули

 
 
 
  для  

Эти правила умножения можно переписать в компактной форме

 ,

где   — символ Кронекера, а εijk — символ Леви-Чивиты.

Из этих правил умножения следуют коммутационные соотношения

 

Квадратные скобки означают коммутатор, фигурные — антикоммутатор.

Также для матриц Паули выполняются тождества Фирца.

Связь с алгебрами ЛиПравить

Коммутационные соотношения матриц   совпадают с коммутационными соотношениями генераторов алгебры Ли su(2). И действительно, вся эта алгебра, состоящая из антиэрмитовых матриц 2×2, может быть построена из произвольных линейных комбинаций матриц   Группа SU(2) с алгеброй su(2) локально изоморфна группе SO(3) вращений трёхмерного пространства; в частности этим объясняется важность матриц Паули для физики.

Применение в физикеПравить

В квантовой механике матрицы   представляют собой генераторы инфинитезимальных вращений для нерелятивистских частиц со спином ½. Элементы матрицы спинового оператора для частиц с полуцелым спином выражаются через матрицы Паули[1] как

 

 

 

Вектор состояния таких частиц представляет собой двухкомпонентный спинор[2]. Двухкомпонентные спиноры образуют пространство фундаментального представления группы SU(2).

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. § 55. Оператор спина // Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 5-е. — М.: Физматлит, 2001. — С. 258. — 808 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0057-2.
  2. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. § 56. Спиноры // Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 5-е. — М.: Физматлит, 2001. — С. 258. — 808 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0057-2.

ЛитератураПравить