Числовая последовательность (ранее в русскоязычной математической литературе встречался термин вариа́нта[1][2], принадлежащий Ш. Мерэ[1]) — это последовательность чисел.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f4/Cauchy_sequence_illustration2.png/250px-Cauchy_sequence_illustration2.png)
Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.
Определение
правитьПусть — это либо множество вещественных чисел , либо множество комплексных чисел . Тогда последовательность элементов множества называется числовой последовательностью.
Примеры
править- Функция является бесконечной последовательностью целых чисел. Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид .
- Функция является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид .
Операции над последовательностями
правитьНа множестве всех последовательностей элементов множества можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве . Такие операции обычно определяют естественным образом, то есть поэлементно.
Пусть на множестве определена -арная операция : Тогда для элементов , , …, множества всех последовательностей элементов множества операция будет определяться следующим образом: |
Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.
Суммой числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что
Разностью числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .
Произведением числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .
Частным числовой последовательности и числовой последовательности , все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность . Если в последовательности на позиции всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность .
Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.
Подпоследовательности
правитьПодпоследовательность последовательности — это последовательность , где — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.
Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.
Примеры
править- Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.
- Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.
Свойства
править- Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.
- Для всякой подпоследовательности верно, что .
- Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.
- Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.
- Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.
- Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.
- Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.
Предельная точка последовательности
правитьПредельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом.
Предел последовательности
правитьПредел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности, для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.
Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.
Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.
Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.
Некоторые виды последовательностей
править- Стационарная последовательность — это последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны.
- стационарная .
Ограниченные и неограниченные последовательности
правитьВ предположении о линейной упорядоченности множества элементов последовательности можно ввести понятия ограниченных и неограниченных последовательностей.
- Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества , все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности.
- ограниченная сверху .
- Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества , для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.
- ограниченная снизу .
- Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность) — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу.
- ограниченная .
- Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной.
- неограниченная .
Критерий ограниченности числовой последовательности
правитьЧисловая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.
- ограниченная .
Свойства ограниченных последовательностей
править- Ограниченная сверху числовая последовательность имеет бесконечно много верхних граней.
- Ограниченная снизу числовая последовательность имеет бесконечно много нижних граней.
- Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку.
- У ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы.
- Для любого наперёд взятого положительного числа все элементы ограниченной числовой последовательности , начиная с некоторого номера, зависящего от , лежат внутри интервала .
- Если за пределами интервала лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности , то интервал содержится в интервале .
- Справедлива теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
править- Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.
- Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности.
Свойства бесконечно малых последовательностей
правитьБесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе, а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.
- Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
- Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
- Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
- Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
- Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
- Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
- Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.
- Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.
- Если — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность , которая является бесконечно малой. Если же всё же содержит нулевые элементы, то последовательность всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера , и всё равно будет бесконечно малой.
- Если — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность , которая является бесконечно большой. Если же всё же содержит нулевые элементы, то последовательность всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера , и всё равно будет бесконечно большой.
Сходящиеся и расходящиеся последовательности
править- Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества , имеющая предел в этом множестве.
- Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.
Свойства сходящихся последовательностей
править- Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.
- Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
- Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.
- Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
- Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
- Если последовательность сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является ограниченной.
- Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
- Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
- Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
- Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
- Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.
- Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.
- Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают члены другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.
- Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.
- Любую сходящуюся последовательность можно представить в виде , где — предел последовательности , а — некоторая бесконечно малая последовательность.
- Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).
Монотонные последовательности
правитьМонотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка.
Фундаментальные последовательности
правитьФундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность, последовательность Коши) — это последовательность элементов метрического пространства, в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.
Примечания
править- ↑ 1 2 Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Наука, 1969. — Т. 1. — С. 44. — 608 с.
- ↑ Микиша А. М., Орлов В. Б. Толковый математический словарь. Основные термины: около 2500 терминов / Под ред. к.ф.-м.н. А. П. Савина. — М.: Русский язык, 1989. — С. 16. — 244 с. — ISBN 5-200-01253-8.