Граница (топология)

(перенаправлено с «Граница множества»)

Грани́ца мно́жества Aмножество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.

ОпределениеПравить

Пусть дано топологическое пространство  , где   — произвольное множество, а   — определённая на   топология. Пусть рассматривается множество   Тогда точка   называется грани́чной то́чкой мно́жества  , только если для любой её окрестности   целиком лежащей в этом топологическом пространстве, справедливо:

  и одновременно с этим  

Множество всех граничных точек множества   называется границей множества   (в  ) и обозначается   или   если необходимо подчеркнуть, что граница рассматривается относительно объемлющего пространства  .

СвойстваПравить

  •  
  •  
  •  замкнутое множество;
  •  открытое множество тогда и только тогда, когда  
  •  замкнутое множество тогда и только тогда, когда  
  •   — открытое и одновременно замкнутое множество тогда и только тогда, когда  
  •  , причем равенство   достигается тогда и только тогда, когда  
  •  

ПримерыПравить

Рассмотрим числовую прямую   со стандартной топологией. Тогда: для  :

  • Для  :  
  •  
  •  

При этом очень существенно, относительно какого объемлющего топологического пространства рассматривается граница множества.

Например, дана стандартная топология на   Тогда граница открытого круга   относительно этой топологии равна окружности   потому что окрестность, с помощью понятия которой и определяется граница множества, является плоской фигурой (окрестностью может служить, например, круг с любым ненулевым радиусом) и для того, чтобы любая окрестность граничной точки могла пересекаться как с кругом   так и с его дополнением   граничная точка должна быть на окружности  

Если же рассмотреть стандартную топологию на   то границей открытого круга   будет замкнутый круг   поскольку внутри   окрестность является уже 3-мерной фигурой (допустим, шаром), а дополнением круга   относительно   уже является  . Соответственно, в таком случае под определение граничной точки открытого круга   уже будет попадать не только любая точка окружности   но и любая точка исходного множества  

См. такжеПравить