Алгебраическое тождество Бьянки

Алгебраическое тождество Бьянки — определённый вид симметрии тензора кривизны. Также известно как тождество Бьянки — Падова[1]), или первое тождество Бьянки. Тождество было найдено Грегорио Риччи-Курбастро, но оно называется первым тождеством Бьянки, потому что оно похоже на дифференциальное тождество, описанное Луиджи Бьянки.

Формулировка править

Тензор Римана удовлетворяет следующему тождеству:

 

которое называется алгебраическим тождеством Бьянки

Замечание править

Это тождество эквивалентно следующему соотношению на компоненты тензора кривизны:

 

Варианты записи тождества править

Поскольку тензор Римана имеет две антисимметричные пары индексов (тензор меняет знак на противоположный при перестановке двух индексов внутри каждой из пар), причем тензор симметричен при перестановке местами самих пар, то мы можем, например, поменять местами первые два индекса. Получаем (изменив знак):

 

Если теперь поменять местами пары индексов, то получим:

 

Все эти тождества эквивалентны, и словами их можно описать так: фиксируем один из индексов тензора Римана, а с тремя остальными индексами проделываем три циклические перестановки. Сумма компонент тензора Римана с полученными тремя наборами индексов равна нулю.

Другие варианты получаются при подъёме одного или нескольких индексов, например:

 

Антисимметризация тензора Римана править

Используя тензор метрической матрёшки, можно для произвольного тензора    -ранга составить следующий антисимметричный по всем индексам тензор:

 

Очевидно, что антисимметричный тензор остаётся неизменным после проведения процедуры антисимметризации.

Применим антисимметризацию к тензору Римана:

 

При раскрытии определителя мы получим 24 слагаемых по перестановке индексов  , причем парные перестановки будут со знаком «плюс», а нечётные — со знаком «минус»:

 

Всего в формуле (18) будет восемь групп слагаемых по три слагаемых в каждой. Учитывая симметрию тензора Римана, легко увидеть, что все эти восемь групп одинаковые (с учётом знаков). Поэтому получаем:

 

Теперь алгебраическое тождество Бьянки можно словами описать так: антисимметризация тензора Римана равна нулю.

Количество линейно независимых компонент внутренней кривизны править

Если   — размерность многообразия, то количество комбинаций в антисимметричной паре индексов равна:

 

Поскольку тензор Римана симметричен относительно перестановки пар индексов, то его компоненты записываются (с точностью до знака) таким количеством разных чисел:

 

Но эти числа связаны линейными зависимостями, которые следуют из алгебраического тождества Бьянки. Количество этих уравнений, как легко видеть из формулы (19), равно количеству существенно разных компонент антисимметричного тензора четвёртого ранга  :

 

(Заметим, что формула (22) даёт правильный результат, т.е. ноль, тогда, когда  ) Следовательно количество линейно независимых компонент тензора Римана равно разности:

 

Формула (23) даёт только максимально возможное количество линейно независимых компонент тензора Римана для данной размерности многообразия. А для конкретных многообразий это количество может быть меньшим. Например для плоского пространства это число равно нулю, а для гиперповерхности в системе координат главных направлений, имеем для индексов   формулу:

 

а следовательно, количество линейно независимых компонент не превышает количества комбинаций из   по 2, т.е.:

 

Связь с другими свойствами внутренней кривизны править

Вследствие алгебраического тождества Бьянки внутренняя кривизна многообразия полностью определяется по значениям следующей квадратичной формы от бивекторов  :

 

Также с алгебраическим тождеством Бьянки связана возможность альтернативного взгляда на внутреннюю кривизну через симметричный тензор внутренней кривизны.

См. также править

Примечания править

  1. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1973