Алгоритм Борувки

Алгори́тм Бору́вки (или алгоритм Борувки — Соллина) — это алгоритм нахождения минимального остовного дерева в графе.

Впервые был опубликован в 1926 году Отакаром Борувкой[en] в качестве метода нахождения оптимальной электрической сети в Моравии. Несколько раз был переоткрыт, например Флореком, Перкалом и Соллином. Последний, кроме того, был единственным западным учёным из этого списка, и поэтому алгоритм часто называют алгоритмом Соллина, особенно в литературе по параллельным вычислениям.

АлгоритмПравить

Работа алгоритма состоит из нескольких итераций, каждая из которых состоит в последовательном добавлении рёбер к остовному лесу графа, до тех пор, пока лес не превратится в дерево, то есть, лес, состоящий из одной компоненты связности.

Алгоритм можно описать так:

  1. Изначально, пусть   — пустое множество рёбер (представляющее собой остовный лес, в который каждая вершина входит в качестве отдельного дерева).
  2. Пока   не является деревом (что эквивалентно условию: пока число рёбер в   меньше, чем  , где   — число вершин в графе):
    • Для каждой компоненты связности (то есть, дерева в остовном лесе) в подграфе с рёбрами  , найдём самое дешёвое ребро, связывающее эту компоненту с некоторой другой компонентой связности. (Предполагается, что веса рёбер различны, или как-то дополнительно упорядочены так, чтобы всегда можно было найти единственное ребро с минимальным весом).
    • Добавим все найденные рёбра в множество  .
  3. Полученное множество рёбер   является минимальным остовным деревом входного графа.

Сложность алгоритмаПравить

На каждой итерации число деревьев в остовном лесу уменьшается по крайней мере в два раза, поэтому всего алгоритм совершает не более   итераций. Каждая итерация может быть реализована со сложностью  , поэтому общее время работы алгоритма составляет   времени (здесь   и   — число вершин и рёбер в графе, соответственно).

Однако для некоторых видов графов, в частности, планарных, оно может быть уменьшено до  .[1] Существует также рандомизированный алгоритм построения минимального остовного дерева, основанный на алгоритме Борувки, работающий в среднем за линейное время.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

ПримечанияПравить

  1. Eppstein, David (1999), Spanning trees and spanners, in Sack, J.-R. & Urrutia, J., Handbook of Computational Geometry, Elsevier, с. 425–461 ; Mareš, Martin (2004), Two linear time algorithms for MST on minor closed graph classes, Archivum mathematicum Т. 40 (3): 315–320, <http://www.emis.de/journals/AM/04-3/am1139.pdf> .