Алгоритм Метрополиса — Гастингса

Алгоритм Метрополиса — Гастингса — алгоритм семплирования, использующийся, в основном, для сложных функций распределения. Он отчасти похож на алгоритм выборки с отклонением, однако здесь вспомогательная функция распределения меняется со временем. Алгоритм был впервые опубликован Николасом Метрополисом в 1953 году, и затем обобщён К. Гастингсом в 1970 году. Семплирование по Гиббсу является частным случаем алгоритма Метрополиса — Гастингса и более популярно за счёт простоты и скорости, хотя и реже применимо.

Алгоритм Метрополиса — Гастингса позволяет семплировать любую функцию распределения. Он основан на создании цепи Маркова, то есть на каждом шаге алгоритма новое выбранное значение $x^{t+1}$ зависит только от предыдущего $x^{t}$. Алгоритм использует вспомогательную функцию распределения $Q(x'|x^{t})$, зависящую от $x^{t}$, для которой генерировать выборку просто (например, нормальное распределение). На каждом шаге для этой функции генерируется случайное значение $x'$. Затем с вероятностью

$u={\frac {P(x')Q(x^{t}|x')}{P(x^{t})Q(x'|x^{t})}}$

(или с вероятностью 1, если $u>1$), выбранное значение принимается как новое: $x^{t+1}=x'$, а иначе оставляется старое: $x^{t+1}=x^{t}$.

Например, если взять нормальную функцию распределения как вспомогательную функцию, то

$Q(x'|x^{t})\sim N(x^{t},\sigma ^{2}I).$

Такая функция выдаёт новое значение в зависимости от значения на предыдущем шаге. Изначально алгоритм Метрополиса требовал, чтобы вспомогательная функция была симметрична: $Q(x',x^{t})=Q(x^{t},x')$, однако обобщение Гастингса снимает это ограничение.

Алгоритм

Пусть мы уже выбрали случайное значение $x^{t}$. Для выбора следующего значения сначала получим случайное значение $x'$ для функции $Q(x'|x^{t})$. Затем найдем произведение $a=a_{1}a_{2}$, где

$a_{1}={\frac {P(x')}{P(x^{t})}}$

является отношением вероятностей между промежуточным значением и предыдущим, а

$a_{2}={\frac {Q(x^{t}|x')}{Q(x'|x^{t})}}$

это отношение между вероятностями пойти из $x'$ в $x^{t}$ или обратно. Если $Q$ симметрична, то второй множитель равен 1. Случайное значение на новом шаге выбирается по правилу:

${\begin{matrix}{\mbox{If }}a\geq 1:&\\&x^{t+1}=x',\end{matrix}}$

${\begin{matrix}{\mbox{and if }}a<1:&\\&x^{t+1}=\left\{{\begin{matrix}x'{\mbox{ with probability }}a\\x^{t}{\mbox{ with probability }}1-a.\end{matrix}}\right.\end{matrix}}$

Алгоритм стартует из случайного значения $x^{0}$, и сначала прогоняется «вхолостую» некоторое количество шагов, чтобы «забыть» о начальном значении.

Лучше всего алгоритм работает тогда, когда форма вспомогательной функции близка к форме целевой функции $P$. Однако добиться этого априори зачастую невозможно. Для решения этой проблемы вспомогательную функцию настраивают в ходе подготовительной стадии работы алгоритма. Например, для нормального распределения настраивают его параметр $\sigma ^{2}$ так, чтобы доля «принятых» случайных значений (то есть тех, для которых $x^{t+1}=x'$) была близка к 60 %. Если $\sigma ^{2}$ слишком мала, то значения будут получаться слишком близкими и доля принятых будет высока. Если $\sigma ^{2}$ слишком велика, то с большой вероятностью новые значения будут выскакивать в зоны малой вероятности $P$, отчего доля принятых значений окажется низкой.