Открыть главное меню

Аннуите́т (фр. annuité от лат. annuus — годовой, ежегодный) или финансовая рента — график погашения финансового инструмента, предполагающий выплату как основного долга, так и вознаграждения за пользование данным финансовым инструментом. Выплаты по аннуитету осуществляются равными суммами через равные промежутки времени. Сумма аннуитетного платежа включает в себя и основной долг, и вознаграждение.

Аннуитетом в широком смысле может называться:

  • Один из видов срочного государственного займа, по которому ежегодно выплачиваются проценты и погашается часть суммы.
  • Равные друг другу денежные платежи, выплачиваемые через определённые промежутки времени в счёт погашения полученного кредита, займа и процентов по нему.
  • В страховании жизни — договор со страховой компанией, по которому физическое лицо приобретает право на регулярное получение согласованных сумм, начиная с определённого времени, например, выхода на пенсию[1].
  • Современная стоимость серии регулярных страховых выплат, производимых с определенной периодичностью в течение срока, установленного договором страхования.

Аннуитетный график также может использоваться для того, чтобы накопить определённую сумму к заданному моменту времени. В таком случае на счёт или депозит, по которому начисляется вознаграждение, регулярно вносятся одинаковые суммы.

Виды аннуитетовПравить

По времени выплаты первого аннуитетного платежа различают:

  • аннуитет постнумерандо — выплата осуществляется в конце первого периода,
  • аннуитет пренумерандо — выплата осуществляется в начале первого периода.

Коэффициент аннуитетаПравить

Коэффициент аннуитета превращает разовый платёж сегодня в платёжный ряд. С помощью данного коэффициента определяется величина периодических равных выплат по кредиту:

 ,

где   — процентная ставка за один период,   — количество периодов на протяжении всего действия аннуитета (количество операций по капитализации процентов). На практике возможны некоторые отличия от математического расчёта, вызванные округлением, а также неодинаковой продолжительностью месяца и года; особенно это касается последнего по сроку платежа.

Предполагается, что выплаты производятся постнумерандо, то есть в конце каждого периода. И тогда величина периодической выплаты  , где   — величина кредита.

Пример расчёта. Рассчитаем ежемесячную выплату по трехлетнему кредиту суммой 12000 долларов по ставке 6 % годовых. Поскольку выплаты будут производиться каждый месяц, необходимо привести процентную ставку из годового значения к месячному:

 .

Подставляем в указанную выше формулу следующие значения:  ,  . Полученный коэффициент умножаем на сумму кредита — 12000. Получаем около 364 долларов 20 центов в месяц.

Обычно погашение долга предусматривает ежемесячные или ежеквартальные выплаты, и задаётся годовая процентная ставка  . Если выплаты производятся постнумерандо   раз в год в течение   лет, то точная формула для коэффициента аннуитета:

 

или по упрощенной формуле:

 ,

где   (всегда показатель степени) — количество периодов =  .

Представленная здесь формула коэффициента аннуитета основана на определении наращенной суммы долга с использованием формулы сложных процентов. Существует формула коэффициента аннуитета, основанная на определении наращенной суммы долга по формуле простых процентов. Кардинальное отличие простых процентов в отсутствии промежуточной капитализации процентов, поэтому при расчёте простыми процентами сначала производится выплата основного долга, а после того, как весь долг выплачен, начинается выплата (капитализация) процентов.

Сначала производится расчёт  

Затем  

 

Где n -количество месяцев кредита,

y — годовая процентная ставка
p =   — месячная процентная ставка
K — размер кредита
m — количество месяцев выплаты основного долга
[m] — целое число от m
X — ежемесячный аннуитетный платеж


Пример. n=12,y=120 %=1.2,p=10 %=0.1,K=100000,

тогда [m]=8, m=8.21052631578947

X=12179.49

Месяц Платеж Погашение
основного
долга
Погашение
процентов
Основной
долг
Начисление
процентов
Накопленные
проценты
0                   100 000,00
1 12 179,49 12 179,49      0,00  87 820,51 10 000,00 10 000,00
2 12 179,49 12 179,49      0,00  75 641,03   8782,05 18 782,05
3 12 179,49 12 179,49      0,00  63 461,54   7564,10 26 346,15
4 12 179,49 12 179,49      0,00  51 282,05   6346,15 32 692,31
5 12 179,49 12 179,49      0,00  39 102,56   5128,21 37 820,51
6 12 179,49 12 179,49      0,00  26 923,08   3910,26 41 730,77
7 12 179,49 12 179,49      0,00  14 743,59   2692,31 44 423,08
8 12 179,49 12 179,49      0,00    2564,10   1474,36 45 897,44
9 12 179,49   2564,10   9615,38       0,00    256,41 36 538,46
10 12 179,49      0,00 12 179,49       0,00      0,00 24 358,97
11 12 179,49      0,00 12 179,49       0,00      0,00 12 179,49
12 12 179,49      0,00 12 179,49       0,00      0,00      0,00

Пример расчёта кредита аннуитетными платежамиПравить

Расчёт равных месячных платежей (X), необходимых для выплаты ипотечной ссуды (P) в 100 тыс. руб. с процентной ставкой (r) 10 % годовых/100, взятой на (n) 20 лет.

 

Месячный платеж   ;[2]

Дата Денежный
поток
Проценты Погашение
основного долга
Остаток основного
долга
01.01.10 -100000,00     100000,00
01.02.10 936,64 797,41 139,23 99860,77
01.03.10 936,64 796,30 140,34 99720,44
01.04.10 936,64 795,18 141,45 99578,98
01.05.10 936,64 794,06 142,58 99436,40
01.06.10 936,64 792,92 143,72 99292,68
01.07.10 936,64 791,77 144,87 99147,82
... ... ... ... ...
01.10.29 936,64 29,29 907,35 2765,69
01.11.29 936,64 22,05 914,59 1851,11
01.12.29 936,64 14,76 921,88 929,23
01.01.30 936,64 7,41 929,23 0,00

Пример расчёта с учётом количества дней в месяцах и годах

Дата Денежный
поток
Проценты Формула расчёта
процентов
Погашение основного
долга
Остаток основного
долга
01.01.10 -100000,00       100000,00
01.02.10 936,64 812,77 =(1,1^(31/365)-1)*100000 123,87 99876,13
01.03.10 936,64 732,92 =(1,1^(28/365)-1)*99876,13 203,72 99672,41
01.04.10 936,64 810,11 =(1,1^(31/365)-1)*99672,41 126,53 99545,88
01.05.10 936,64 782,88 =(1,1^(30/365)-1)*99545,88 153,76 99392,12
01.06.10 936,64 807,83 =(1,1^(31/365)-1)*99392,12 128,81 99263,31
01.07.10 936,64 780,65 =(1,1^(30/365)-1)*99263,31 155,99 99107,32
... ... ... ... ... ...
01.10.29 936,64 27,94 =(1,1^(30/365)-1)*3552,24 908,70 2643,54
01.11.29 936,64 21,49 =(1,1^(31/365)-1)*2643,54 915,15 1728,39
01.12.29 936,64 13,59 =(1,1^(30/365)-1)*1728,39 923,05 805,34
01.01.30 811,89 6,55 =(1,1^(31/365)-1)*805,34 805,34 0,00

Итого сумма процентов за 20 лет составляет 124668,85 руб.

Банковский расчёт аннуитетаПравить

По сложившейся практике банк считает аннуитетный платеж по следующей формуле

 ,[3]

где

 - ежемесячный аннуитетный платеж

 - кредит

 - годовая процентная ставка

 -количество месяцев кредита

Пример

Пусть  =100000,  =120 %, =12

Тогда 

Месяц Платеж Погашение

процентов

Погашение

основного

долга

Остаток

основного

долга

0 100000,00
1 14676,33 10000,00 4676,33 95323,67
2 14676,33 9532,37 5143,96 90179,71
3 14676,33 9017,97 5658,36 84521,35
4 14676,33 8452,14 6224,19 78297,16
5 14676,33 7829,72 6846,61 71450,55
6 14676,33 7145,06 7531,27 63919,28
7 14676,33 6391,93 8284,40 55634,88
8 14676,33 5563,49 9112,84 46522,04
9 14676,33 4652,20 10024,13 36497,91
10 14676,33 3649,79 11026,54 25471,37
11 14676,33 2547,14 12129,19 13342,18
12 14676,40 1334,22 13342,18 0,00

Однако, в ст. 6 353-ФЗ «О ПОТРЕБИТЕЛЬСКОМ КРЕДИТЕ (ЗАЙМЕ)»[4] , формула имеет вид

 

Она основана на формуле

 

где   — кредит

 -ое погашение основного долга

 

 


расчёт должен быть таким


k Месяц Денежный

поток

Погашение

процентов

Погашение

основного

долга

Остаток

основного

долга

1 0 -100000,00 100000,00
2 1 14676,33 1334,21 13342,12 86657,88
3 2 14676,33 2547,13 12129,20 74528,68
4 3 14676,33 3649,79 11026,54 63502,14
5 4 14676,33 4652,20 10024,13 53478,01
6 5 14676,33 5563,48 9112,85 44365,16
7 6 14676,33 6391,92 8284,41 36080,75
8 7 14676,33 7145,05 7531,28 28549,47
9 8 14676,33 7829,71 6846,62 21702,85
10 9 14676,33 8452,13 6224,20 15478,65
11 10 14676,33 9017,97 5658,36 9820,29
12 11 14676,33 9532,37 5143,96 4676,33
13 12 14676,33 10000,00 4676,33 0,00

По логике законодателя, если в расчёте отсутствуют комиссии, то ПСК= 

Поскольку погашение происходит точно каждый месяц, поэтому в формуле ст. 6 все   ,   ,  ,ЧБП=12,  =12,   при  ,  ,  =ПСК/ЧБП/100%=120 %/12/100%=0,1 и формула преобразуется в

 

Отсюда   для  

Действительно, в таблице, например,  

При этом проценты ( ) рассчитываются по формуле

 

Например, для  

 

Что соответствует расчёту сложными процентами от погашения основного долга

Физический смысл данного расчёта состоит в том, что в день выдачи кредита кредит делится на 12 неравных подкредита на 1,2, …. 12 месяцев

Например, для   в день выдачи кредита (соответствует 0 -му месяцу) выдается кредит 4676,33 на 12 месяцев с единственным погашением через 12 месяцев.

Расчёт для   выглядит по меньшей мере странно: в соответствии с определением процентной ставки процент за год  .

В то же время,  

Дело в том, что исторически произошла путаница двух понятий: годовая процентная ставка и 12-кратная среднемесячная процентная ставка. При расчёте простыми процентами данные понятия являются идентичными. Поскольку расчёт производится сложными процентами, следовательно, и ПСК в ст. 6 353-ФЗ[4], и   в банковском расчёте (в данном случае, Сбербанка) в данном примере являются 12-кратными среднемесячными процентными ставками ( ).

Пусть среднемесячная процентная ставка  , тогда двенадцатикратная среднемесячная процентная ставка  , а годовая процентная ставка  

До 1 сентября 2014 года формула расчёта ПСК в ст.6 353-ФЗ[5] выглядела так:

 

Здесь ПСК действительно вычисляется правильно, получается правильная годовая процентная ставка , ее можно рассчитать в Excel при помощи функции ЧИСТВНДОХ

Таким образом, если банк считает сложными процентами, тогда

 

Если банк считает простыми процентами, тогда

Сначала производится расчёт  

Затем  

 

Всё это более, чем странно, поскольку в ответе на вопрос ДБР к ЦБР от 18.08.2014[6] указывается:

«При расчёте ПСК учитываются все платежи по кредитному договору (договору займа) (в том числе предусмотренные договором платежи в пользу третьих лиц) по принципу сложных процентов»

То есть, по мнению законодателя формула

 

рассчитана по принципу сложных процентов

Но по принципу сложных процентов рассчитана формула

 

где  

  — год  

  — порядковый номер дня   в году (1 января — 1, 31 декабря невисокосного года — 365)

здесь возникает неопределенность: 1 января на начало дня начисляются проценты за 31 декабря предыдущего года, поэтому 1 января может относиться как к текущему году, так и к предыдущему, поэтому по другой версии 1 января — 0, 31 декабря невисокосного года — 364

  — число дней в году   (365 или 366)

При   данная формула полностью совпадает с

 

«Процентные доходы и процентные расходы по размещенным и привлеченным средствам начисляются в порядке и размере, предусмотренными соответствующим договором, на остаток задолженности по основному долгу, учитываемой на соответствующем лицевом счёте на начало операционного дня. При начислении процентных доходов и процентных расходов в расчёт принимаются величина процентной ставки (в процентах годовых) и фактическое количество календарных дней, на которое привлечены или размещены средства. При этом за базу берется действительное число календарных дней в году — 365 или 366 дней соответственно, если иное не предусмотрено соглашением сторон.»[7]

Таким образом, банк может заключить соглашение сторон, при котором число календарных дней в году — 365, в месяце — 30, в году 12 месяцев.

Проценты считаются на остаток задолженности по основному долгу по той части кредита, по которой происходит текущая выплата, то есть на  

Тогда формула расчёта процентов будет  .

Здесь   — среднемесячная процентная ставка, в долях единицы

  — число полных месяцев с выдачи кредита

  — отношение дней с момента завершения  -го месяца до даты k-го денежного потока к 30

  — 12-кратная среднемесячная процентная ставка

  — годовая процентная ставка

Тогда ПСК при отсутствии комиссий и при подавляющем большинстве досрочных погашений всегда будет равна 12-кратной среднемесячной процентной ставке

Пример расчёта универсального аннуитетаПравить

Существует пример, который подходит и для банковского расчёта, и для ст. 6 353-ФЗ, и для 2008-У, и для математических расчётов, в котором нет никаких округлений.

Для наглядности рассмотрим пример банковского расчёта:

 ,[3]

где

 - ежемесячный аннуитетный платеж

 - кредит

 - годовая процентная ставка

 -количество месяцев кредита

Пусть погашение кредита происходит равными платежами ежегодно. Тогда:

 

 -количество лет кредита

Пример

Пусть  =100000,  =120 %, =2

Тогда 

Дата Платеж Погашение

процентов

Погашение

основного

долга

Остаток

основного

долга

11.01.2017 100000
11.01.2018 151250 120000 31250 68750
11.01.2019 151250 82500 68750 0

Посчитаем ПСК по формуле 2008-У (вместо PSK сразу подставляем 120 %/100%=1,2):

 

Посчитаем ПСК по формуле ст. 6 353-ФЗ (Поскольку погашение происходит точно каждый год, поэтому в формуле ст. 6 все   ,   ,  ,ЧБП=1,  =2,   при  ,  ,  =ПСК/ЧБП/100%=120 %/1/100%=1,2):

 

поскольку в ответе на вопрос ДБР к ЦБР от 18.08.2014[6] указывается:

«При расчёте ПСК учитываются все платежи по кредитному договору … по принципу СЛОЖНЫХ процентов, поэтому значение ПСК может отличаться от процентной ставки по кредитному договору …»,

Следовательно, банк в расчётах использует сложные проценты, хотя декларирует использование простых.

Будущая стоимость аннуитетных платежейПравить

Будущая стоимость аннуитетных платежей предполагает, что платежи осуществляются на приносящий проценты вклад. Поэтому будущая стоимость аннуитетных платежей является функцией как величины аннуитетных платежей, так и ставки процента по вкладу.

Будущая стоимость серии аннуитетных платежей (FV) вычисляется по формуле (предполагается сложный процент)

 ,

где r — процентная ставка за период, n — количество периодов, в которые осуществляются аннуитетные платежи, X — величина аннуитетного платежа.

Аннуитет пренумерандо в рассматриваемом случае начисления процентов по аннуитетным платежам, имеет на один период начисления процентов больше. Поэтому формула для вычисления будущей стоимости аннуитета пренумерандо приобретает следующий вид

 

В табличных процессорах в состав финансовых функций входит функция для вычисления будущей стоимости аннуитетных платежей. В OpenOffice.org Calc для вычисления будущей стоимости аннуитетных платежей (как постнумерандо, так и пренумерандо) применяется функция FV.

Расчёт составляющих аннуитетаПравить

При простых процентах

Аннуитетный платеж = Погашение ОД + Проценты

где Погашение ОД — сумма в погашение тела займа

Проценты — сумма процентов по ссуде за месяц, выплачиваются после полного погашения ОД

Проценты по кредиту = (Сумма ОД х Процентная ставка х Число дней между датами) / (100 х Число дней в году)

Где сумма ОД — сумма основного долга на дату расчёта.

Ставка — процентная ставка в текущем периоде. Если было изменение процентной ставки, берется новая ставка.

Число дней между датами — разность в днях между датами «Дата текущего платежа» и дата предыдущего платежа.[8]

При сложных процентах

Аннуитетный платеж = Погашение ОД + Проценты

где Погашение ОД — сумма в погашение тела займа

Проценты — сумма процентов по ссуде за месяц, выплачиваются ежемесячно

Проценты по кредиту = Сумма ОД х ((1+Процентная ставка/100)^((Число дней между датами)/ (Число дней в году)) −1)

Где сумма ОД — сумма основного долга на дату расчёта.

Ставка — процентная ставка в текущем периоде. Если было изменение процентной ставки, берется новая ставка.

Число дней между датами — разность в днях между датами «Дата текущего платежа» и дата предыдущего платежа.[9]

См. такжеПравить

СсылкиПравить

ПримечанияПравить

  1. Ефимов С.Л. Аннуитет // Экономика и страхование: Энциклопедический словарь. — Москва: Церих-ПЭЛ, 1996. — С. 5. — 528 с. — ISBN 5-87811-016-4.
  2. Банковское дело: Учебник для вузов. / Под ред. Г. Белоглазовой, Л. Кроливецкой. — 2-е изд.. — СПб.: Питер, 2010. — С. 240. — 400 с. — ISBN 978-5-91180-733-7.
  3. 1 2 п. 3.1.1. Общих условий предоставления, обслуживания и погашения кредитов для физических лиц по продукту Потребительский кредит.
  4. 1 2 353-ФЗ "О ПОТРЕБИТЕЛЬСКОМ КРЕДИТЕ (ЗАЙМЕ).
  5. ФЗ "О потребительском кредите (займе)" в первоначальной редакции.
  6. 1 2 Департамент банковского регулирования. Вопрос Центральному банку Российской Федерации от 18.08.2014 (недоступная ссылка). Центральный банк Российской Федерации (19.09.2014). Дата обращения 15 сентября 2016. Архивировано 4 августа 2016 года.
  7. ЦЕНТРАЛЬНЫЙ БАНК РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (БАНК РОССИИ). ПОЛОЖЕНИЕ О порядке определения доходов, расходов и прочего совокупного дохода кредитных организаций // Вестник Банка России : журнал. — 2015. — 13 февраля (№ 12 (1608)). — С. 3.
  8. Формулы для расчёта досрочного погашения аннуитетного кредита | Калькулятор с досрочным погашением онлайн. mobile-testing.ru. Дата обращения 13 апреля 2016.
  9. Аннуитетный платеж (недоступная ссылка). www.mathinary.com. Дата обращения 11 августа 2017. Архивировано 11 августа 2017 года.