Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 7 сентября 2018 года; проверки требует 1 правка.
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 7 сентября 2018 года; проверки требует 1 правка.
Эллиптические интегралы в лежандровой форме 1-го, 2-го и 3-го родов [1], а также интегралы, сходные с ними (с заменой знаков плюс на минус и/или с заменой cos на sin или наоборот) точно представимы функциональным рядом. Такое представление не является элементарной функцией ввиду бесконечного числа членов этого ряда.
Руководствуясь соображениями достижения необходимой точности и, взяв в расчёт n начальных членов ряда и пренебрегая остатком, то есть суммой остальных членов ряда от n+1 до ∞, получим аппроксимацию (определённого или неопределённого) эллиптического интеграла в виде элементарной функции. Аппроксимации эллиптических интегралов применяются аналогично обычным интегралам.
Определённый интеграл 1-го рода можно представить в виде:
Здесь и далее в формулах применяются следующие обозначения:
— расчётная относительная погрешность вычисления эллиптических интегралов по указанным формулам для эллипсов, подобных меридиональному земному (k2=0,006693 и h=0,006674).
— число, указывающее, во сколько раз уменьшится максимальная расчётная относительная погрешность соответствующей формулы, если добавить неуказанных членов в её формулу разложения.
Определённый интеграл 2-го рода представи́м в виде:
Длина дуги эллипса с единичной большой полуосью:
Определённый интеграл 3-го рода можно записать в виде: