Открыть главное меню

Метод Крылова — Боголюбова

(перенаправлено с «Асимптотический метод Крылова — Боголюбова — Митропольского»)

Метод Крылова-Боголюбова — метод получения приближённых аналитических решений нелинейных дифференциальных уравнений c малой нелинейностью.

Содержание

ОписаниеПравить

Рассмотрим динамическую систему с малой нелинейностью[1]:

  (1)

Здесь   - вектор состояния системы с   компонентами,   - постоянная квадратная матрица,   - малый параметр,   - нелинейная вектор-функция от вектора состояния  , малого параметра   и времени  .

При   система превращается в линейную. Одно из её периодических решений можно записать в виде:

  (2)

Здесь   - произвольная постоянная,   - собственный вектор матрицы  ,   - одна из некратных собственных частот системы,   - произвольная постоянная.

Решение системы (1) при   ищем в виде ряда по степеням малого параметра  :

  (3)

Здесь   - неизвестные вектор-функции   и  .   и   - медленно меняющаяся амплитуда и фаза, удовлетворяющие уравнениям:

  (4)
  (5)

Вычислим производную   в виде ряда от  , исходя из выражений (3, 4, 5):

  (6)

Нелинейную часть уравнения (1) также представим в виде ряда по малому параметру:

  (7)

где  

Приравнивая в левой и правой частях уравнения (1) члены с одинаковыми степенями малого параметра  , получаем систему уравнений для определения неизвестных функций   из уравнения (3):

  (8)
  (9)
 

Разложим вектор-функции   в ряды Фурье с медленно меняющимися коэффициентами:

  (10)
  (11)

Далее подставим (10), (11) в (8), (9) и приравняв коэффициенты при каждой гармонике в обеих частях уравнения, получим систему неоднородных уравнений относительно  .

Для получения уравнений первого приближения из (8), (10), (11) составим уравнение для определения вектор-функции  

  (12)

Условие совместности системы (12) при   имеет вид:

:   (13)

Разделяя в (13) действительную и мнимую части, находим:

  (14)
  (15)

Во втором приближении сначала найдем из системы уравнений (12) векторы  . Учитывая, что при   вектор   определяется с точностью до произвольной постоянной, его можно представить в виде:

  (16)

Затем подставим в систему уравнений (9) ряды (10), (11). С учетом (16) получим:

  (17)

Из условия совместности системы уравнений (17) при   можно определить   и  . Аналогично находятся члены третьего и более высоких приближений. В итоге получаем выражение для вектора состояния системы x

  (18)

Здесь амплитуда   и фаза   удовлетворяют уравнениям (4), (5).

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить