Открыть главное меню

Аффинный шифр

Аффинный шифр — это частный случай более общего моноалфавитного шифра подстановки. К шифрам подстановки относятся также шифр Цезаря, ROT13 и Атбаш. Поскольку аффинный шифр легко дешифровать, он обладает слабыми криптографическими свойствами[1].

Содержание

ОписаниеПравить

В аффинном шифре каждой букве алфавита размера   ставится в соответствие число из диапазона  . Затем при помощи модульной арифметики для каждого числа, соответствующего букве исходного алфавита, вычисляется новое число, которое заменит старое в шифротексте. Функция шифрования[2] для каждой буквы

 

где модуль   — размер алфавита, а пара   и   — ключ шифра. Значение   должно быть выбрано таким, что   и  взаимно простые числа. Функция расшифрования[2]

 

где   — обратное к   число по модулю  . То есть оно удовлетворяет уравнению[2]

 

Обратное к   число существует только в том случае, когда   и   — взаимно простые. Значит, при отсутствии ограничений на выбор числа   расшифрование может оказаться невозможным. Покажем, что функция расшифрования является обратной к функции шифрования

 

Количество возможных ключей для аффинного шифра можно записать через функцию Эйлера как  [1].

Примеры шифрования и расшифрованияПравить

В следующих примерах используются латинские буквы от A до Z, соответствующие им численные значения приведены в таблице.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

ШифрованиеПравить

В этом примере необходимо зашифровать сообщение "ATTACK AT DAWN", используя упомянутое выше соответствие между буквами и числами, и значения  ,   и  , так как в используемом алфавите 26 букв. Только на число   наложены ограничения, так как оно должно быть взаимно простым с 26. Возможные значения  : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23 и 25[3]. Значение   может быть любым, только если   не равно единице, так как это сдвиг шифра. Итак, для нашего примера функция шифрования  . Первый шаг шифрования — запись чисел, соответствующих каждой букве сообщения.

сообщение A T T А C K A T D A W N
  0 19 19 0 2 10 0 19 3 0 22 13

Теперь, для каждого значения   найдем значение  . После нахождения значения   для каждого символа возьмем остаток от деления   на 26. Следующая таблица показывает первые четыре шага процесса шифрования.

сообщение A T T А C K A T D A W N
  0 19 19 0 2 10 0 19 3 0 22 13
  4 61 61 4 10 34 4 61 13 4 70 43
  4 9 9 4 10 8 4 9 13 4 18 17

Последний шаг процесса шифрования заключается в подстановке вместо каждого числа соответствующей ему буквы. В этом примере шифротекст будет "EJJEKIEJNESR". Таблица ниже показывает все шаги по шифрованию сообщения аффинным шифром.

сообщение A T T А C K A T D A W N
  0 19 19 0 2 10 0 19 3 0 22 13
  4 61 61 4 10 34 4 61 13 4 70 43
  4 9 9 4 10 8 4 9 13 4 18 17
шифротекст E J J E K I E J N E S R

РасшифрованиеПравить

Для расшифрования возьмем шифротекст из примера с шифрованием. Функция расшифрования будет  , где  ,   и  .

Замечание: если каждая  , то функция расшифрования принимает вид  . (Точно так же, как и в обозреваемом примере, но разберём общий вариант)

Для начала запишем численные значения для каждой буквы шифротекста, как показано в таблице ниже.

шифротекст E J J E K I E J N E S R
  4 9 9 4 10 8 4 9 13 4 18 17

Теперь для каждого   необходимо рассчитать   и взять остаток от деления этого числа на 26. Следующая таблица показывает результат этих вычислений.

шифротекст E J J E K I E J N E S R
  4 9 9 4 10 8 4 9 13 4 18 17
  234 279 279 234 288 270 234 279 315 234 360 351
  0 19 19 0 2 10 0 19 3 0 22 13

Последний шаг операции расшифрования для шифротекста — поставить в соответствие числам буквы. Сообщение после расшифрования будет "ATTACKATDAWN". Таблица ниже показывает выполнение последнего шага.

шифротекст E J J E K I E J N E S R
  4 9 9 4 10 8 4 9 13 4 18 17
  234 279 279 234 288 270 234 279 315 234 360 351
  0 19 19 0 2 10 0 19 3 0 22 13
сообщение A T T A C K A T D A W N

Шифрование всего алфавитаПравить

Чтобы ускорить шифрование и расшифрование, можно провести процедуру шифрования для всех букв алфавита и получить таблицу соответствий между буквами исходного сообщения и шифротекста. Для использованных выше примеров такая таблица будет выглядеть следующим образом:

буква сообщения A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  4 7 10 13 16 19 22 25 2 5 8 11 14 17 20 23 0 3 6 9 12 15 18 21 24 1
буква шифротекста E H K N Q T W Z C F I L O R U X A D G J M P S V Y B

КриптоанализПравить

Так как аффинный шифр является по сути моноалфавитным шифром замены, то он обладает всеми уязвимостями этого класса шифров. Шифр Цезаря — это аффинный шифр с  , что сводит функцию шифрования к простому линейному сдвигу[1].

В случае шифрования сообщений на русском языке (т.е.  ) существует 297 нетривиальных аффинных шифров, не учитывая 33 тривиальных шифра Цезаря. Это число легко посчитать, зная, что существует всего 20 чисел взаимно простых с 33 и меньших 33 (а это и есть возможные значения  ). Каждому значению   могут соответствовать 33 разных дополнительных сдвига (значение  ); то есть всего существует 20*33 или 660 возможных ключей. Аналогично, для сообщений на английском языке (т.е.  ) всего существует 12*26 или 312 возможных ключей[3]. Такое ограниченное количество ключей приводит к тому, что система крайне не криптостойка с точки зрения принципа Керкгоффса.

Основная уязвимость шифра заключается в том, что криптоаналитик может выяснить (путём частотного анализа[4], полного перебора[1], угадывания или каким-либо другим способом) соответствие между двумя любыми буквами исходного текста и шифротекста. Тогда ключ может быть найдет путём решения системы уравнений[4]. Кроме того, так мы знаем, что   и   — взаимно простые, это позволяет уменьшить количество проверяемых ключей для полного перебора.

Преобразование, подобное аффинному шифру, используется в линейном конгруэнтном методе[5] (разновидности генератора псевдослучайных чисел). Этот метод не является криптостойким по той же причине, что и аффинный шифр.

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 4 S. R. Nagpaul, Surender Kumar Jain. Topics in applied abstract algebra. — AMS. — P. 137-138.
  2. 1 2 3 Johannes Buchmann. Introduction to cryptography. — Springer. — P. 95.
  3. 1 2 David Salomon. Coding for data and computer communications. — Springer. — P. 204.
  4. 1 2 Josef Pieprzyk, Thomas Hardjono, Jennifer Seberry. Fundamentals of computer security. — Springer, 2003. — P. 72-74. — 677 p.
  5. Алгоритмы: введение в разработку и анализ. — Издательский дом Вильямс. — С. 130-131.