Волноводные моды

Волноводной модой принято называть электромагнитные колебания определённого типа внутри планарной структуры обладающей свойствами, схожими с волноводами (например в резонансных решётках или тонких плёнках), по аналогии с волновыми модами. Иными словами это часть излучения, распространяющаяся в модифицированном приповерхностном слое материала под определенным углом.

Так как любой волновод является колебательной системой имеющей конечные размеры, волновой вектор (а, следовательно, длина волны) в волноводе может принимать лишь определённые дискретные значения, что следует из решений уравнений Максвелла. Колебания в тонком слое с определёнными значениями волнового вектора называются волноводными модами, так как физический смысл этого явления аналогичен модам в оптике.

Стрелками на рисунке указаны направления нормалей к волновым поверхностям зигзагообразных волн, соответствующих волноводной моде.

Для изучения явления волновых вод мы предположим, что по координате х свет ограничен (∆х – толщина волноводного слоя). Тогда рассмотрим распространение по координате z. Также, стоит учесть, что структура и свет однородны в направлении оси y (y перпендикулярен x и z). Волна испытывает полное внутреннее отражение на границах пленки. Все излучаемые волны монохроматичны и когерентны, их угловая частота равна ω, длина волны в вакууме λ, а волновой вектор в направлении нормали к волновой поверхности равен $kn_{1}$kn1 , где $k={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {\omega }{c}}$

Постоянная распространения β для волноводной моды в плоском волноводе : $\beta ={\frac {\omega }{\nu }}=kn_{1}sin\theta$ , где $\nu$-фазовая скорость. Угол $\theta$ для каждой моды собственный и не может принимать любые значения, т.к. только дискретный набор углов приводит к согласованной картине распределения поля, которая соответствует тому, что мы называем волноводной модой.

Рассмотрим поперечное сечение волновода плоскостью z = const. Сумма сдвигов фаз, образовавшихся при распространении луча света от границы с подложкой к границе с покровным слоем и его отражения от последней, должна быть кратна $2\pi$ . Сдвиг фазы за начальный проход пленки равен $k_{}n_{1}h_{}\cos \Theta _{}$, сдвиг фазы в результате полного внутреннего отражения на границе раздела пленка - покровный слой равен $-2\varphi _{12}$, сдвиг за следующий проход от этой границы $k_{}n_{1}h_{}\cos \Theta _{}$ и сдвиг из-за полного внутреннего отражения на границе раздела пленка - подложка равен $-2\varphi _{13}$.

Таким образом, получаем условие поперечного резонанса :

$2k_{}n_{1}h_{}\cos \Theta _{}-2\varphi _{12}-2\varphi _{13}=2\pi m_{}$, где m-целое число, номер моды волновода.

Величина $\varphi$ является функцией угла $\Theta$ :

для ТМ-мод

$tg\varphi _{12,\mathrm {T} \mathrm {M} }={\frac {{\frac {n_{1}^{2}}{n_{2}^{2}}}\cdot \surd (n_{1}^{2}sin\Theta _{}^{2}-n_{2}^{2})}{n_{1}\cos \Theta _{}}}$

для ТЕ-мод

$tg\varphi _{12,\mathrm {T} E}={\frac {\surd (n_{1}^{2}sin\Theta _{}^{2}-n_{2}^{2})}{n_{1}\cos \Theta _{}}}$

Эффективный показатель преломления волновода :

$n_{eff}={\frac {\beta }{k}}=n_{1}\sin \Theta$

$kn_{2}<\beta <kn_{1}$ , $n_{2}<n_{eff}<n_{1}$