Гиперметрическое пространство

Гиперметрическое пространство — метрическое пространство с определёнными дополнительными условиями на метрику.

Определение

Гиперметрическое пространство — метрическое пространство в котором выполнены гиперметрические неравенства. То есть,

$\sum _{i<j}b_{i}\cdot b_{j}\cdot |x_{i}-x_{j}|\leq 0$

для любых точек $x_{1},\dots ,x_{n}$ и целых чисел $b_{1},\dots ,b_{n}$ таких, что $\sum b_{i}=1$.

Замечания

• При $b_{1}=b_{2}=1$ и $b_{3}=-1$, гиперметрическое неравенство преврящается в обычное неравенство треугольника

  $|x_{1}-x_{2}|-|x_{1}-x_{3}|-|x_{2}-x_{3}|\leq 0.$

Примеры

• $\ell _{1}$-пространство и его подпространства.
  • Любое 6-точечное гиперметрическое пространство вкладывается в $\ell _{1}$.
  • Существуют примеры 7-точечных гиперметрических пространств которые не вкладываются в $\ell _{1}$. Такова например метрика на полном графе $K_{7}$ без двух смежных рёбер.

• Пусть $Y$ — семейство измеримых подмножеств пространства $X$ с мерой $\mu$. Если метрика на $Y$ задана как

  $|A-B|_{Y}=\mu (A\triangle B)=\mu ((A\cup B)\setminus (A\cap B)),$

то $Y$ является гиперметрическим пространством.