Гипотеза Сельберга о дзета-функции

Гипотеза Сельберга — математическая гипотеза о плотности нулей дзета-функции Римана ζ(1/2 + it), выдвинутая Атле Сельбергом.

Гипотеза Сельберга является усилением второй гипотезы Харди—Литтлвуда[англ.]. Сельберг выдвинул свою гипотезу, доказав гипотезу Харди—Литтлвуда.

История и формулировка править

В 1942 году Атле Сельберг выдвинул[1] гипотезу, что при фиксированном   с условием  , достаточно большом   и  ,  , промежуток   содержит не менее   вещественных нулей дзета-функции Римана  . Сельберг доказал справедливость утверждения для случая  .

Доказательство гипотезы править

В 1984 году А. А. Карацуба доказал гипотезу Сельберга[2][3][4].

Оценки А. Сельберга и А. А. Карацубы являются неулучшаемыми по порядку роста при  .

В 1992 г. А. А. Карацуба доказал[5], что аналог гипотезы Сельберга справедлив для «почти всех» промежутков  ,  , где   — сколь угодно малое фиксированное положительное число. Метод, разработанный Карацубой позволяет исследовать нули дзета-функции Римана на «сверхкоротких» промежутках критической прямой, то есть на промежутках  , длина   которых растёт медленнее любой, даже сколь угодно малой, степени  . В частности, он доказал, что для любых заданных чисел  ,   с условием   почти все промежутки   при   содержат не менее   нулей функции  . Эта оценка весьма близка к той, что следует из гипотезы Римана.

Примечания править

  1. Selberg, A. On the zeros of Riemann's zeta-function (неопр.) // Shr. Norske Vid. Akad. Oslo. — 1942. — № 10. — С. 1—59.
  2. Карацуба, А. А. О нулях функции ζ(s) на коротких промежутках критической прямой // Известия РАН. Серия математическая. : журнал. — 1984. — № 48:3. — С. 569—584.
  3. Карацуба, А. А. Распределение нулей функции ζ(1/2 + it) // Известия РАН. Серия математическая.. — 1984. — № 48:6. — С. 1214—1224.
  4. Карацуба, А. А. О нулях дзета-функции Римана на критической прямой (неопр.) // Труды МИАН. — 1985. — № 167. — С. 167—178.
  5. Карацуба, А. А. О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой // Известия РАН. Серия математическая. : журнал. — 1992. — № 56:2. — С. 372—397.