Гипотеза H

Гипотеза H (гипотеза Шинцеля) — обобщение гипотезы Диксона, заключающееся в том, что набор многочленов для бесконечного множества целых значений аргументов принимает простые значения при выполнении некоторого дополнительного условия. Предложена в 1958 году Анджеем Шинцелем.

Формулировка

Пусть полиномы с целочисленными коэффициентами f₁(n), … f_k(n), где n также целое, являются неприводимыми, и их старшие коэффициенты положительны. Если они таковы, что для каждого простого числа p можно найти некоторое целое число n такое, что эти полиномы не будут делиться на p, то тогда существует бесконечно много положительных n, при которых значение каждого из этих полиномов будет простым числом.

Частные случаи

Известными примерами являются полином

$n^{2}+1$

и так называемые простые числа-близнецы, для которых, однако, справедливость гипотезы не доказана.

Один из частных случаев гипотезы был доказан Дирихле. Так, для двух целых чисел, не имеющих общих делителей, арифметическая прогрессия вида

$a,a+d,a+2d,\ldots ,a+nd,\ldots ,\quad d>0$

содержит бесконечное количество простых чисел.

См. также

• Гипотеза Буняковского

Литература

• Crandall, Richard, Pomerance, Carl B. Prime Numbers: A Computational Perspective. — 2nd ed.. — Springer, 2005. — P. 13, 17—18. — 597 p. — ISBN 978-0-387-28979-3.
• Alladi, K., Elliott, P. D. T. A., Granville, A., Tenenbaum, G. Analytic and Elementary Number Theory. — Springer, 1998. — Vol. 1. — P. 71. — 304 p. — (Developments in Mathematics). — ISBN 978-0-7923-8273-7.

Ссылки

• Chris K. Caldwell. Hypothesis H (англ.). The Prime Glossary. The University of Tennessee at Martin. Дата обращения: 15 ноября 2012. Архивировано 8 января 2013 года.