Гипотеза Диксона

Гипотеза Диксона — теоретико-числовое предположение, высказанное Линордом Диксоном в 1904 году, утверждающее, что для любого конечного набора линейных форм $a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2},...a_{k}n+b_{k}$ при $a_{j}\geqslant 1$ , имеется бесконечно много натуральных чисел n, для которых все значения форм будут простыми одновременно, если только не существует сравнение по некоторому простому модулю, сразу исключающее эту возможность.

Формулировка

Пусть k — натуральное число, рассмотрим k арифметических прогрессий $a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2},...a_{k}n+b_{k}$ с целыми $a_{j},b_{j}$ , причем $a_{j}\geqslant 1$ . Гипотеза Диксона предполагает, что существует бесконечно много натуральных n таких, что для каждого такого n все k чисел $a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2},...a_{k}n+b_{k}$ являются простыми числами. Из рассмотрения исключается только тривиальный случай, когда существует такое простое p, что при любом n хотя бы одно число $a_{j}n+b_{j}$ кратно p. Это ограничение можно переформулировать так: неверно что для любого n выполняется сравнение $(a_{1}n+b_{1})(a_{2}n+b_{2})...(a_{k}n+b_{k})\equiv 0{\pmod {p}}$ . В последнем случае на p может делиться как несколько прогрессий при разных n, так и одна прогрессия при всех n. Например, для 2-х прогрессий $n,2n$ всегда $2\mid 2n$ , а для 2-х других прогрессий $n,n+3$ при четных n $2\mid n$ , а при нечетных — $2\mid n+3$ , так что в парах прогрессий $n,2n$ и $n,n+3$ число простых пар не бесконечно.

Заметим также, что формулировка гипотезы получается более естественной, если расширить её область действия с натуральных до всех целых чисел, в частности, считать простыми не только положительные числа $2,3,5,...$ , но и отрицательные числа $-2,-3,-5,...$ (каковые действительно являются простыми элементами в кольце $\mathbb {Z}$ в обычном смысле). В таком случае нет необходимости требовать положительность всех значений всех прогрессий $a_{j}n+b_{j}$ и значит условие $a_{j}\geqslant 1$ можно ослабить до $a_{j}\neq 0$ , а последнее вообще можно убрать, поскольку иначе $a_{j}n+b_{j}$ — не арифметическая прогрессия.

Частные случаи

Случай $k=1$ уже доказан — это теорема Дирихле.
Два специальных случая — это хорошо известные гипотезы: имеется бесконечно много простых чисел-близнецов (n и n + 2 простые), и имеется бесконечно много чисел Софи Жермен (n и 2n + 1 простые).
Гипотеза Полиньяка — существует бесконечно много простых пар вида $n,n+2t$ , t — фиксированное натуральное число (то есть бесконечно число простых пар $(n,n+2)$ , $(n,n+4)$ , $(n,n+6)$ и т. п.).
Гипотеза о последовательных простых: если нет простого p такого, что для всех n $p\mid (n+b_{1})(n+b_{2})...(n+b_{k})$ , то число последовательных простых бесконечно (это опять же пары $(n,n+2)$ , тройки $(n,n+2,n+6)$ , четверки $(n,n+2,n+6,n+8)$ и т. д.)
В качестве других следствий можно привести то, что из гипотезы Диксона следует бесконечность числа составных чисел Мерсенна и бесконечность чисел Кармайкла, содержащих ровно 3 простых множителя, и т. п.

Эвристические соображения в пользу гипотезы

Пусть $w(p)$ — число решений сравнения $(a_{1}n+b_{1})(a_{2}n+b_{2})...(a_{k}n+b_{k})\equiv 0{\pmod {p}}$ . Согласно предположению гипотезы, $w(p)<p$ и тогда согласно эвристическим рассуждениям в пользу гипотезы Бейтмана-Хорна, получаем, что плотность чисел n, не превосходящих x, для которых все числа $a_{j}n+b+j$ простые, оценивается величиной

\prod \limits _{p}{\frac {1-w(p)/p}{(1-p^{-1})^{k}}}\int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln ^{k}t}},

здесь произведение берется по всем простым числам p, а $\ln$ — натуральный логарифм числа. Величина асимптотически эквивалентна $\prod \limits _{p}{\frac {1-w(p)/p}{(1-p^{-1})^{k}}}{\frac {x}{\ln ^{k}x}},$ но 1-е выражение должно быть точнее. При $k=1$ , нетрудно проверить, коэффициент будет равен ${\frac {1}{\varphi (a_{1})}}$ , что соответствует теореме Дирихле (здесь $\varphi$ — функция Эйлера).

Обобщения

Гипотеза Диксона была позже обобщена Шинцелем до гипотезы Шинцеля.

См. также

Ссылки

Dickson, L. E. (1904), "A new extension of Dirichlet's theorem on prime numbers", Messenger of mathematics, 33: 155—161 Архивная копия от 16 мая 2016 на Wayback Machine
Ribenboim, Paulo (1996), The new book of prime number records, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94457-9, MR 1377060 Архивная копия от 23 июня 2016 на Wayback Machine
http://primes.utm.edu/glossary/xpage/DicksonsConjecture.html Архивная копия от 23 октября 2012 на Wayback Machine