Гипотезы о кубоидах

Гипотезы о кубоидах — совокупность из трёх математических утверждений о неразложимости трёх многочленов с целыми коэффициентами от одной переменной, зависящими от нескольких целых параметров. По состоянию на 2024 год остаются в статусе гипотез — ни доказаны, ни опровергнуты.

Первая гипотеза о кубоидах: для любых двух положительных взаимнопростых целых чисел $a\neq u$ многочлен восьмой степени:

$P_{au}(t)=t^{8}+6\,(u^{2}-a^{2})\,t^{6}+(a^{4}-4\,a^{2}\,u^{2}+u^{4})\,t^{4}-6\,a^{2}\,u^{2}\,(u^{2}-a^{2})\,t^{2}+u^{4}\,a^{4}$

неприводим над кольцом целых чисел $\mathbb {Z}$.

Вторая гипотеза о кубоидах: для любых двух положительных взаимнопростых целых чисел $p\neq q$ многочлен десятой степени:

${\begin{aligned}Q_{pq}(t)={}&t^{10}+(2q^{2}+p^{2})(3q^{2}-2p^{2})t^{8}\\[4pt]&{}+(q^{8}+10p^{2}q^{6}+4p^{4}q^{4}-14p^{6}q^{2}+p^{8})t^{6}\\[4pt]&{}-p^{2}q^{2}(q^{8}-14p^{2}q^{6}+4p^{4}q^{4}+10p^{6}\,q^{2}+p^{8})t^{4}\\[4pt]&{}-p^{6}\,q^{6}\,(q^{2}+2\,p^{2})\,(-2\,q^{2}+3\,p^{2})\,t^{2}\\[4pt]&{}-q^{10}\,p^{10}\end{aligned}}$}}

неприводим над кольцом целых чисел $\mathbb {Z}$.

Третья гипотеза о кубоидах: для любых трёх положительных взаимнопростых целых чисел $a$, $b$ и $u$, таких что ни одно из условий:

${\begin{array}{lcr}{\text{1)}}\qquad a=b;\qquad \qquad &{\text{3)}}\qquad b\,u=a^{2};\qquad \qquad &{\text{5)}}\qquad a=u;\\{\text{2)}}\qquad a=b=u;\qquad \qquad &{\text{4)}}\qquad a\,u=b^{2};\qquad \qquad &{\text{6)}}\qquad b=u\end{array}}$|ref=3}}

не выполняется, многочлен двенадцатой степени:

${\begin{aligned}P_{abu}(t)={}&t^{12}+(6u^{2}-2a^{2}-2b^{2})t^{10}\\&{}+(u^{4}+b^{4}+a^{4}+4a^{2}u^{2}+4b^{2}u^{2}-12b^{2}a^{2})t^{8}\\&{}+(6a^{4}u^{2}+6u^{2}b^{4}-8a^{2}b^{2}u^{2}-2u^{4}a^{2}-2u^{4}b^{2}-2a^{4}b^{2}-2b^{4}a^{2})t^{6}\\&{}+(4u^{2}b^{4}a^{2}+4a^{4}u^{2}b^{2}-12u^{4}a^{2}b^{2}+u^{4}a^{4}+u^{4}b^{4}+a^{4}b^{4})t^{4}\\&{}+(6a^{4}u^{2}b^{4}-2u^{4}a^{4}b^{2}-2u^{4}a^{2}b^{4})t^{2}+u^{4}a^{4}b^{4}.\end{aligned}}$

неприводим над кольцом целых чисел $\mathbb {Z}$.

Гипотезы связаны с задачей о совершенном кубоиде: хотя они и не эквивалентны ей, но если все три эти гипотезы верны, то совершенных кубоидов не существует.

Литература

• Шарипов Р. А. Неприводимые полиномы в задаче о совершенном кубоиде // Уфимский математический журнал. — 2012. — Т. 4, вып. 1. — С. 153–160. — ISSN 2074-1863. — arXiv:1108.5348.
• Шарипов Р. А. Асимптотический подход к задаче о совершенном кубоиде // Уфимский математический журнал. — 2015. — Т. 7, вып. 3. — С. 100–113.