Открыть главное меню

Группа антисимметрии

Группа антисимметрии в теории симметрии — группа, состоящая из преобразований, которые могут менять не только геометрическое положение объекта, но и также его некоторую двухзначную характеристику. Такой двухзначной характеристикой может быть, например, заряд (плюс-минус), цвет (чёрный-белый), знак вещественной функции, направление спина (вверх-вниз).

Группы антисимметрии называются также группами магнитной симметрии, а также группами чёрно-белой симметрии. По аналогии с этими группами вводятся группы многоцветной симметрии (Беловские группы, так как они были предложены в работах академика Н. В. Белова), в которых каждая точка объекта характеризуется уже не двухзначным, а многозначным параметром (цветом).

СодержаниеПравить

Операции и элементы антисимметрииПравить

В дополнение к обычным операциям симметрии (вращение, отражение, инверсия, трансляция и их комбинации) добавляются операции антисимметрии — вращение с изменением цвета (антиповорот), отражение с изменением цвета (антиотражение), инверсия с изменением цвета (антиинверсия), трансляция с изменением цвета (антитрансляция) и так далее. Соответственно, можно говорить и об элементах антисимметрии, которые включают в себя операции антисимметрии.

Следует также учитывать операцию, которая не меняет положение объекта, но меняет цвет — операция антиотождествления или антитождества. Группы, в которых присутствует такая операция, называются серыми, так как там в каждой точке пространства совпадают белая и чёрная часть объекта. Такие группы получаются просто добавлением операции антитождества к классической группе симметрии и их число равно числу классических групп симметрии. Сами классические группы симметрии также являются частным случаем групп антисимметрии. Наибольший интерес представляют группы, которые не являются серыми, и в которых присутствуют как элементы симметрии, так и элементы антисимметрии (группы смешанной полярности). Элементы антисимметрии в этих группах могут быть только чётного порядка, так как элементы антисимметрии нечётного порядка содержат операцию антиотождествления. Например, ось антисимметрии 3 (порядок 3) невозможна в этих группах, а инверсионная ось 3 (порядок 6) — возможна.

Последовательное выполнение двух операций антисимметрии или 2n-кратное выполнение оодной операции антисимметрии дважды меняет знак, то есть в результате знак не меняется. Таким образом, произведение двух операций антисимметрии приводит к классической операции симметрии. Поэтому групп, которые содержат только элементы и операции антисимметрии, не существует. Более того, число операций (но не элементов) антисимметрии в точечных группах антисимметрии равно числу операций симметрии в классических (одноцветных) группах.

Точечные группы антисимметрииПравить

Хотя понятие антисимметрии применимо к любым точечным группам, обычно рассматривают кристаллографические точечные группы антисимметрии. Всего существует 58 чёрно-белых групп, 32 классических полярных групп, и 32 серых нейтральных групп. Итого, 122 точечных групп антисимметрии. Ниже дана таблица всех 122 кристаллографических точечных групп антисимметрии. Обычно для их обозначения используются символы Германа-Могена, при этом элементы антисимметрии отмечаются символом соответствующего элемента симметрии со штрихом. В таблице даны сокращённые символы.

Классические Серые Смешанной полярности
1 1'
1 11' 1'
2 21' 2'
m m1' m'
2/m 2/m1' 2/m' 2'/m 2'/m'
222 2221' 2’2'2
mm2 mm21' m’m'2 mm’2'
mmm mmm1' m’m'm' mmm' m’m'm
4 41' 4'
4 41' 4'
4/m 4/m1' 4/m' 4'/m' 4'/m
422 4221' 4’22' 42’2'
4mm 4mm1' 4m’m' 4’mm'
42m 42m1' 42’m' 4'2m' 4'2’m
4/mmm 4/mmm1' 4/m’m'm' 4/m’mm 4'/mmm' 4'/m’m'm 4/mm’m'
3 31' = 3'
3 31' 3'
32 321' 32'
3m 3m1' 3m'
3m 3m1' 3m' 3'm' 3'm
6 61' 6'
6 61' 6'
6/m 6/m1' 6/m' 6'/m' 6'/m
622 6221' 62’2' 6’2'2
6mm 6mm1' 6m’m' 6’mm'
6m2 6m21' 6m’2' 6'm2' 6'm’2
6/mmm 6/mmm1' 6'/mmm' 6'/m’mm' 6/m’m'm' 6/m’mm 6/mm’m'
23 231'
m3 m31' m'3'
432 4321' 4’32'
43m 43m1' 4'3m'
m3m m3m1' m'3'm' m'3'm m3m'

Стереографические проекции классических точечных групп и групп смешанной полярности.Править

Чёрным цветом обозначены элементы симметрии. Красным — элементы антисимметрии.

 
1
 
1
 
1'
 
2
 
2'
 
m
 
m'
 
2/m
 
2/m'
 
2'/m
 
2'/m'
 
222
 
2’2'2
 
mm2
 
m’m'2
 
mm’2'
 
mmm
 
m’m'm'
 
mmm'
 
m’m'm
 
4
 
4'
 
4
 
4'
 
4/m
 
4/m'
 
4'/m'
 
4/m'
 
422
 
4’22'
 
42’2'
 
4mm
 
4m’m'
 
4’mm'
 
42m
 
42’m'
 
4'2m'
 
4'2’m
 
4/mmm
 
4/m’m'm'
 
4/m’mm
 
4'/mmm'
 
4'/m’m'm
 
4/mm’m'
 
3
 
3
 
3'
 
32
 
32'
 
3m
 
3m'
 
3m
 
3m'
 
3'm'
 
3'm
 
6
 
6'
 
6
 
6'
 
6/m
 
6/m'
 
6'/m'
 
6/m'
 
622
 
62’2'
 
6’2'2
 
6mm
 
6m’m'
 
6’mm'
 
6m2
 
6m’2'
 
6'm2'
 
6'm’2
 
6/mmm
 
6'/mmm'
 
6'/m’mm'
 
6/m’m'm'
 
6/m’mm
 
6/mm’m'
 
23
 
m3
 
m'3'
 
432
 
4’32'
 
43m
 
4'3m'
 
m3m
 
m'3'm'
 
m'3'm
 
m3m'

Пространственные группы антисимметрии (Шубниковские группы)Править

Всего существует 1191 чёрно-белых групп, 230 классических полярных групп, и 230 серых нейтральных групп. Итого — 1651 Шубниковская группа.

Другие кристаллографические группы антисимметрииПравить

Число различных кристаллографических групп антисимметрии (в скобках дано число классических групп симметрии).[1][2]

периодичность Размерность пространства
0 1 2 3 4
0 2 (1) 5 (2) 31 (10) 122 (32) 1202 (271)
1 7 (2) 31 (7) 394 (75)
2 80 (17) 528 (80)
3 1651 (230)
4 62227 (4894)

ЛитератураПравить

  • А. В. Шубников. Симметрия и антисимметрия конечных фигур, Изд-во АН СССР, 1951.
  • А. В. Шубников, В. А. Копцик. Симметрия в науке и искусстве. Издание 2-е, переработанное и дополненное. М., 1972.
  • Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Ю. Г. Загальская, Кристаллография, МГУ, 1992.
  • Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Теория симметрии кристаллов, ГЕОС, 2000. (доступно on-line http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834)
  • В. А. Копцик, Шубниковские группы. М.: Изд-во МГУ, 1966.
  • А. М. Заморзаев, Теория простой и кратной антисимметрии. Кишинев: Штиинца, 1976.
  • Б. К. Вайнштейн, В. М. Фридкин, В. Л. Инденбом. Современная кристаллография. том 1. М.: Наука, 1979.

ПримечанияПравить

  1. Б. К. Вайнштейн, В. М. Фридкин, В. Л. Инденбом. Современная кристаллография. том 1. М.: Наука, 1979, стр 176.
  2. Bernd Souvignier, The four-dimensional magnetic point and space groups, Z. Kristallogr. 221 (2006) 77-82

СсылкиПравить