Двухшаговый метод наименьших квадратов

Двухшаговый метод наименьших квадратов (Двухшаговый МНК, ДМНК,TSLS, 2SLS — англ. Two-Stage Least Squares ) — метод оценки параметров эконометрических моделей, в частности систем одновременных уравнений, состоящий из двух этапов (шагов), на каждом из которых применяется метод наименьших квадратов.

Двухшаговый МНК тесно связан с методом инструментальных переменных. Иногда его и называют обобщенным или просто методом инструментальных переменных. При оценке одиночных уравнений используются дополнительные (инструментальные) переменные, в модели непосредственно не участвующие. Их использование связано с тем, что часть факторов модели могут не удовлетворять требованию экзогенности. При оценке систем одновременных уравнений обычно инструментами являются экзогенные переменные системы.

Сущность методаПравить

Пусть X — множество факторов эконометрической модели, часть которых могут быть эндогенными, часть экзогенными. Пусть также дано множество экзогенных для модели переменных Z (часть из них может участвовать в модели, а часть нет). Количество инструментов должно быть не меньше количества исходных факторов модели.

Процедура двухшагового МНК заключается в следующем:

Шаг 1. Обычным МНК оценивается регрессия факторов X на инструменты  . Оценки параметров этой модели, очевидно, равны:

 .

В результате получаем следующие оценки исходных переменных:

 

Шаг 2. На втором этапе оценивается (также обычным МНК) исходная модель с заменой факторов модели на их оценки, полученные на первом шаге:

 

Учитывая, что   окончательно получаем формулу оценок двухшагового МНК:

 

Если ковариационная матрица случайных ошибок модели пропорциональна единичной, то есть  , то ковариационная матрица этих оценок равна  

Взвешенный двухшаговый МНКПравить

Если на каждом из двух шагов применить не обычный, а взвешенный МНК с одной и той же весовой матрицей  , то получим оценки взвешенного двухшагового МНК (Weighted TSLS, WTSLS):

 

Формула ковариационной матрицы аналогична обычному TSLS с учетом формулы для  .

Связь с методом инструментальных переменныхПравить

Двухшаговый МНК называют также обобщенным методом инструментальных переменных (GIVE — Generalized Instrumental Variables Estimator) или просто методом инструментальных переменных. Если количество инструментов z совпадает с количеством исходных переменных (случай точной идентификации), то матрицы   являются квадратными. Следовательно

 

То есть получаем классическую формулу метода инструментальных переменных  .

Необходимо также отметить и связь с методом инструментальных переменных в обратном направлении, а именно двухшаговый МНК является частным случаем метода ИП, когда в качестве инструментов используются МНК-оценки факторов на некоторые переменные Z:

 

что совпадает с формулой двухшагового МНК.

Двухшаговый МНК в системах одновременных уравненийПравить

В системах одновременных уравнений двухшаговый МНК применяется для оценки параметров структурных уравнений, поскольку в последних в качестве факторов участвуют эндогенные переменные модели и применение обычного МНК приводит к смещенным и несостоятельным оценкам.

Здесь в качестве инструментов Z обычно выступают экзогенные переменные самой модели. Соответственно процедура оценки заключается в том, что на первом шаге обычным МНК оценивается регрессия эндогенных переменных на все экзогенные переменные системы, а затем эти оценки используют на втором шаге вместо эндогенных переменных правой части структурного уравнения, к которому применяется обычный МНК.

Такой подход позволяет получить состоятельные оценки параметров структурной формы.

См. такжеПравить