Динамические стохастические модели общего равновесия

Динамические стохастические модели общего равновесия (DSGE-модели, англ.  Dynamic Stochastic General Equilibrium) — современные макроэкономические модели, параметры которых основаны на моделировании поведения экономических агентов на микроуровне (в частности, поведение домохозяйств моделируется как решение задачи стохастической динамической оптимизации), предусматривающие также моделирование различных стохастических «шоков» (технологических, монетарных, ценовых и др.).

Теоретическим фундаментом классических DSGE-моделей являлась теория реального делового цикла (RBC) и они разрабатывались в рамках новой классической теории, основанной на совершенно конкурентных рынках, гибких ценах, рациональных ожиданиях экономических агентов. В дальнейшем эти модели получили развитие в рамках новой кейнсианской теории, учитывающей рынки монополистической конкуренции, жесткость цен и номинальных заработных плат.

DSGE-модели обычно сложно решить аналитически и оценивать эконометрически, как по причине нелинейных уравнений, так и по причине наличия в них операторов условного математического ожидания будущих значений эндогенных переменных. Нелинейность обычно обходят путем лог-линеаризации уравнений в окрестности стационарного состояния. Для решения проблем оценки моделей с рациональными ожиданиями разработаны различные подходы

DSGE-модели широко применяются центральными банками и другими финансовыми институтами для прогнозирования и выработки экономической политики.

Пример DSGE-моделиПравить

Эндогенные уравнения:

  — линеаризованное уравнение Эйлера (условие первого порядка задачи потребителя)
  — новокейнсианская кривая Филлипса
  — монетарное правило Тейлора

здесь эндогенные переменные   — логарифмы соответственно потребления (выпуска), процентной ставки и инфляции в момент времени t,   — оператор рационального ожидания (условное математическое ожидание с учетом всей доступной на момент времени t информации). Экзогенные переменные:   — это так называемые «шоки», соответственно технологический шок, монетарный шок и шок потребления. Технологический и монетарный шоки моделируются обычно как авторегрессионные процессы первого порядка, шок потребления — как белый шум. Шок потребления и случайные ошибки авторегрессионных моделей для технологического и монетарного шоков предполагаются независимыми, нормально распределенными случайными величинами с нулевым математическим ожиданием.

Моделирование поведения потребителяПравить

Задача потребителя (репрезентативного домохозяйства) решается в два этапа.

Первый этап — оптимизация состава потребительской корзиныПравить

Предполагается, что в экономике имеется континуум дифференцированных товаров. Потребление  -го товара, где  , в момент времени   обозначим  . Композитное потребление (потребление композитного товара)   в момент времени   моделируется посредством функции с постоянной эластичностью замещения (CES) : . Если обозначить   цену  -го товара в момент времени  , то затраты потребителя составят : . Домохозяйство максимизирует композитное потребление при заданной величине затрат. Можно показать, что решение этой задачи максимизации имеет вид:

 , где   — общий уровень цен в экономике.

Несложно показать, что затраты потребителя выражаются через композитное потребление и общий уровень цен естественным образом  , соответственно, спрос на композитный товар равен отношению расходов на общий уровень цен. Таким образом, спрос на конкретный товар зависит от «реальной» цены товара (отношение номинальной цены товара к общему уровню цен) и «реальной» величины расходов (отношение номинальных расходов к общему уровню цен).

Второй этап — межвременная оптимизация ожидаемой полезностиПравить

Поведение репрезентативного домохозяйства моделируется как задача максимизации ожидаемой (математическое ожидание) дисконтированной полезности потребления с учетом трудозатрат (затрат свободного времени):

 

Здесь   — оператор рационального ожидания (математического ожидания при условии доступной в данный момент времени информации), а   — фактор дисконтирования.

Функция   — моментальная функция полезности композитного потребления с учетом трудозатрат   (затрат «свободного времени»).

Межвременное бюджетное ограничение может иметь различный вид. Например, оно может быть сформулировано в виде:

 

где   — объем приобретенных однопериодных облигаций,   — номинальная ставка процента (доходность облигаций),   — номинальная заработная плата за единицу  , а   — это дивиденды по акциям фирм.

Также применяется условие отсутствия игр Понци в виде  

Решение задачи межвременной оптимизацииПравить

Решение такой задачи (методом множителей Лагранжа) в общем случае имеет вид двух уравнений:

  — условие выбора между потреблением и трудом/досугом (функция предложения труда)
  — межвременной выбор между потреблением в текущем и следующем периоде (уравнение Эйлера)

На практике часто моментальная функция полезности   моделируется следующим образом:

 

где   — коэффициент неприятия риска Эрроу-Пратта (случай   соответствует логарифму композитного потребления),  - параметр масштаба, связанный с размерностью  ,   — параметр, который в оптимальном решении равен величине, обратной эластичности предложения труда ( ) по реальной заработной плате.

В этом случае вышеуказанное решение принимает вид:

  или в логарифмах  
  или в логарифмах:  

Проблемы нахождения решений DSGE-моделей заключаются в первую очередь в наличии таких уравнений, содержащих ожидаемые значения переменных.

Моделирование поведения фирмыПравить

Поведение репрезентативной фирмы может моделироваться как стандартная задача максимизации прибыли в каждом периоде или задача максимизации стоимости фирмы. При стандартном неоклассическом моделировании фирм на совершенно конкурентных рынках решение задачи фирмы приводит к стандартным результатам для совершенной конкуренции: равенству реальных зарплат и процентной ставки предельным продуктам соответственно труда и капитала.

Рассмотрим иной вариант моделирования.

Моделирование производстваПравить

В простейшем случае в экономике имеется континуум идентичных фирм, производящих дифференцированные товары по единой технологии. Производственная функция i-ой фирмы может моделироваться как линейная функция объема используемого труда  , где   — обозначает уровень технологии,   — объем используемого данной фирмой труда. Соответственно, агрегирование по экономике дает следующую производственную функцию:

  или в логарифмах:  

Соответственно, логарифм технологической переменной (то есть  ) моделируется часто как авторегрессионный процесс первого порядка (в общем случае с дрейфом):

 , где дрейф  , очевидно можно выразить через математическое ожидание процесса как  

В рамках данного примера в экономике отсутствуют инвестиции и капитала, поэтому выполнено равенство  

Стоимость фирмыПравить

Уравнение межвременной оптимизации потребления можно применить к задаче приобретения домохозяйством финансового актива, приносящего дивидендный доход (акции фирмы). Если через   периодов после приобретения акции она принесет дивиденд  , то реальная цена актива будет равна

 ,

где введено обозначение   — стохастический дисконтирующий множитель для периода от t до t+k.

Соответственно, стоимость фирмы будет равна  

Условие жесткости ценПравить

Один из способов моделирования жесткости цен (так называемый метод Кальво или жесткость цен по Кальво) заключается в предположении, что отдельная фирма в данном периоде не изменит цену с некоторой экзогенно заданной вероятностью  , называемой индексом или степенью жесткости цен. Поскольку в экономике предполагается континуум фирм, то степень жесткости определяет фактически долю фирм, которые не изменят цены (то есть оставят их на уровне прошлого периода), а   — доля фирм, которые могут изменить цену и установить на некотором одинаковом уровне.

В таком случае общий уровень цен в экономике будет равен

 

После логарифмирования и разложения в ряд Тейлора в окрестности стационарного состояния (нулевая инфляция) линейная часть разложения будет иметь вид:  

Задача фирмыПравить

Жесткость цен влияет на задачу фирмы. Если фирма в текущем периоде может изменить цену, то она будет решать задачу оптимизации с учетом в том числе и вероятности того, что в будущем она не сможет пересмотреть цены (если она в будущем пересмотрит цену, то она оптимизирует ее на тот момент и эта оптимизационная задача не будет зависеть от текущего выбора цены). Поэтому фирма принимает решение в данный момент времени   взвешивая каждое  -е слагаемое в формуле определения стоимости фирмы на вероятность того, что в течение   периодов она не изменит цены. Эта вероятность равна  , поэтому фактически фирма должна максимизировать величину:

 

Если предположить, что размер дивидендов совпадает с прибылью фирмы, то задача фирмы формулируется как задача максимизации ожидаемой дисконтированной прибыли в предположении, что в будущем цена, формирующая прибыль будет равна устанавливаемой на данный момент:

 , где   — функция совокупных издержек фирмы, а   — объем выпуска фирмы в момент   по цене, установленной на момент  , равный  

Очевидно, условие оптимальности имеет вид

Лог-линеаризованное решение задачи фирмы имеет вид

 , где  

Таким образом мы получили факторную модель для инфляции, а именно инфляция определяется инфляционными ожиданиями и отклонением наценки от оптимальной с учетом также межвременного фактора дисконтирования и степени жесткости цен.

Новокейнсианская кривая ФиллипсаПравить

Из линейной производственной функции следует, что  , следовательно затраты производства, состоящие из оплаты труда равны  , соответственно предельные издержки  , а в логарифмах  . Таким образом, логарифмическая наценка равна

 

Учитывая логлинейную кривую предложения труда   получаем выражение для наценки  . Из производственной функцию  , поскольку инвестиции в модели отсутствуют и выполнено равенство  , следует  / Подставив это в выражение для логарифмической наценки, окончательно получим для нее следующее выражение:

 

Аналогичное выражение имеет место и для оптимальной наценки, соответствующей естественному выпуску:

 

Подставив эти выражения в модель факторов инфляции, получим новокейнсианскую кривую Филлипса:

 , где  

ЛитератураПравить

  • McCandless. The ABCs of RBCs: An Introduction to Dynamic Macroeconomic Models (англ.). — Harvard University Press, 2008. — 448 p. — ISBN 978-0674028142.