Открыть главное меню

Дифференциальное включение — обобщение понятия дифференциального уравнения:

где правая часть (*) есть многозначное отображение, ставящее в соответствие каждой паре переменных и непустое компактное множество в пространстве Решением дифференциального включения (*) обычно называют абсолютно непрерывную функцию которая удовлетворяет данному включению при почти всех значениях Такое определение решения связано, прежде всего, с приложениями дифференциальных включений в теории управления.

Зарождение теории дифференциальных включений связывают обычно с именами французского математика Маршо (Marchaud) и польского математика Станислава Заремба (работы середины 1930-х годов), однако широкий интерес к ним возник только после открытия принципа максимума Понтрягина и связанным с ним интенсивным развитием теории оптимального управления. Дифференциальные включения используются также как инструмент исследования дифференциальных уравнений с разрывной правой частью (А. Ф. Филиппов) и в теории дифференциальных игр (Н. Н. Красовский).

Связь дифференциальных включений с управляемыми системамиПравить

Рассмотрим управляемую систему

 

где   есть некоторое компактное подмножество. Систему (**) можно записать в виде дифференциального включения (*), положив  . При довольно общих предположениях управляемая система (**) эквивалентна дифференциальному включению (*), т.е. для любого решения   включения (*) существует такое допустимое управление   что функция   будет являться траекторией системы (**) с этим управлением. Это утверждение называется леммой А.Ф. Филиппова.

Связанные понятияПравить

Контингенция (контингентная производная) и паратингенция — обобщения понятия производной, введённые в 1930-х годах.

Контингенцией вектор-функции   в точке   называется множество   всех предельных точек последовательностей

 

Паратингенцией вектор-функции   в точке   называется множество   всех предельных точек последовательностей

 

Контингенция и паратингенция представляют собой примеры многозначных отображений. Например, для функции   в точке   множество   состоит из двух точек:   а множество   является отрезком  

Вообще, всегда  . Если существует обычная производная   то   а если обычная производная   существует в некоторой окрестности точки   и непрерывна в самой этой точке, то  .

ЛитератураПравить

  • Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, — Любое издание.
  • Благодатских В. И. Введение в оптимальное управление, — Высшая школа, Москва, 2001.
  • Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление, — Тр. МИАН, т.169 (1985).
  • Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач, — Физматлит, Москва, 1974.
  • А. Ф. Филиппов. О некоторых вопросах оптимального регулирования. — Вестник МГУ, Матем. и мех., N2 (1959).
  • А. Ф. Филиппов. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985.
  • A. Cellina. A VIEW ON DIFFERENTIAL INCLUSIONS, — Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino - Vol. 63, 3 (2005).