Дифференциальное включение (математика)

Дифференциальное включение — обобщение понятия дифференциального уравнения:

${\frac {dx}{dt}}\in F(t,x),\qquad (*)$

где правая часть (*) есть многозначное отображение, ставящее в соответствие каждой паре переменных $t\in \mathbb {R}$ и $x\in \mathbb {R} ^{n}$ непустое компактное множество $F(t,x)$ в пространстве $\mathbb {R} ^{n}.$ Решением дифференциального включения (*) обычно называют абсолютно непрерывную функцию $x(t),$ которая удовлетворяет данному включению при почти всех значениях $t.$ Такое определение решения связано, прежде всего, с приложениями дифференциальных включений в теории управления.

Зарождение теории дифференциальных включений связывают обычно с именами французского математика Маршо (Marchaud) и польского математика Станислава Заремба (работы середины 1930-х годов), однако широкий интерес к ним возник только после открытия принципа максимума Понтрягина и связанным с ним интенсивным развитием теории оптимального управления. Дифференциальные включения используются также как инструмент исследования дифференциальных уравнений с разрывной правой частью (А. Ф. Филиппов) и в теории дифференциальных игр (Н. Н. Красовский).

Связь дифференциальных включений с управляемыми системами

Рассмотрим управляемую систему

${\frac {dx}{dt}}=f(t,x,u),\quad u(t)\in U,\qquad (**)$

где $U\subset \mathbb {R} ^{m}$ есть некоторое компактное подмножество. Систему (**) можно записать в виде дифференциального включения (*), положив $F(t,x)=f(t,x,U)=\{f(t,x,u)\ :\ \forall u\in U\}$. При довольно общих предположениях управляемая система (**) эквивалентна дифференциальному включению (*), т.е. для любого решения $x(t)$ включения (*) существует такое допустимое управление $u(t)\in U,$ что функция $x(t)$ будет являться траекторией системы (**) с этим управлением. Это утверждение называется леммой А.Ф. Филиппова.

Связанные понятия

Контингенция (контингентная производная) и паратингенция — обобщения понятия производной, введённые в 1930-х годах.

Контингенцией вектор-функции $x(t)$ в точке $t_{0}$ называется множество ${\textrm {Cont}}\ x(t_{0})$ всех предельных точек последовательностей

${\frac {x(t_{i})-x(t_{0})}{t_{i}-t_{0}}},\quad t_{i}\to t_{0},\quad i=1,2,\ldots$

Паратингенцией вектор-функции $x(t)$ в точке $t_{0}$ называется множество ${\textrm {Parat}}\ x(t_{0})$ всех предельных точек последовательностей

${\frac {x(t_{i})-x(t_{j})}{t_{i}-t_{j}}},\quad t_{i}\to t_{0},\quad t_{j}\to t_{0},\quad i,j=1,2,\ldots$

Контингенция и паратингенция представляют собой примеры многозначных отображений. Например, для функции $x(t)=|t|$ в точке $t_{0}=0$ множество ${\textrm {Cont}}\ x(0)$ состоит из двух точек: $\pm 1,$ а множество ${\textrm {Parat}}\ x(0)$ является отрезком $[-1,+1].$

Вообще, всегда ${\textrm {Cont}}\subset {\textrm {Parat}}$. Если существует обычная производная $x'(t_{0}),$ то ${\textrm {Cont}}\ x(t_{0})=x'(t_{0}),$ а если обычная производная $x'(t)$ существует в некоторой окрестности точки $t_{0}$ и непрерывна в самой этой точке, то ${\textrm {Cont}}\ x(t_{0})={\textrm {Parat}}\ x(t_{0})=x'(t_{0})$.

Литература

• Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, — Любое издание.
• Благодатских В. И. Введение в оптимальное управление, — Высшая школа, Москва, 2001.
• Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление, — Тр. МИАН, т.169 (1985).
• Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач, — Физматлит, Москва, 1974.
• А. Ф. Филиппов. О некоторых вопросах оптимального регулирования. — Вестник МГУ, Матем. и мех., N2 (1959).
• А. Ф. Филиппов. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985.
• A. Cellina. A VIEW ON DIFFERENTIAL INCLUSIONS, — Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino - Vol. 63, 3 (2005).