Задача Келети о квадратах

Задача Келети — вопрос комбинаторной геометрии про верхнюю оценку на отношение периметра к площади объединения равных квадратов. Сформулирован Тамасом Келети в 1998 году.^[1] В 2014 году был найден контрпример.

Контрпример из пяти квадратов, построенный Киссом и Виднявским.

Формулировка править

Предположим $F$ — объединение конечного числа единичных квадратов на плоскости. Верно ли, что

{\frac {P(F)}{S(F)}}\leq 4,

где $P(F)$ обозначает периметр, а $S(F)$ площадь $F$ .

Замечания править

Если все у всех квадратов совпадают центры, то выполняется равенство.
${\frac {P(F)}{S(F)}}=4.$

История править

Тамас Келети доказал, что отношение ограничено сверху некоторой константой.
Генеш^[2]^[3] доказал, что
${\frac {P(F)}{S(F)}}\leq 5{,}6.$

Он также доказал,

{\frac {P(F)}{S(F)}}\leq 4

в трёх случаях:

если все квадраты из семейства получаются друг из друга параллельным переносом,
если квадраты имею общий центр
если число квадратов равно 2.

В 2014 году, Виктор Кисс и Золтен Виндянски построили контрпример из 5 квадратов. Они также построили пример с отношением около $4{,}28$ .^[4]

Вариации и обобщения править

По теореме Келети, для данного многоугольника K, частное периметра к площади у произвольного объединения многоугольников равных K, ограничено сверху.
Аналогичные задачи для правильных многоугольников также имеют контрпримеры. То есть для правильного многоугольника K существует конечный набор равных многоугольников с объединением F такой, что

{\frac {P(F)}{S(F)}}>{\frac {P(K)}{S(K)}}.

Примечания править

↑ T. Keleti, A covering property of some classes of sets in $\mathbb {R} ^{n}$ , Acta Univ. Carolin. Math. Phys. 39 (1998), no. 1-2, 111–118.
↑ Z. Gyenes, The ratio of the perimeter and the area of unions of copies of a fixed set, Discrete Comput. Geom. 45 (2011), no. 3, 400–409.
↑ Z. Gyenes, The ratio of the surface-area and volume of finite un ion of copies of a fixed set in $\mathbb {R} ^{n}$ , MSc thesis, 2005.
↑ Viktor Kiss, Zoltán Vidnyánszky. Unions of regular polygons with large perimeter-to-area ratio (англ.) // Discrete Comput. Geom.. — 2015. — Vol. 53. — P. 878—889. Архивировано 17 августа 2016 года.

Ссылки править

Pálvölgyi Dömötör, Is the ratio Perimeter/Area for a finite union of unit squares at most 4?, MathOverflow.

[1] T. Keleti, A covering property of some classes of sets in $\mathbb {R} ^{n}$ , Acta Univ. Carolin. Math. Phys. 39 (1998), no. 1-2, 111–118.

[2] Z. Gyenes, The ratio of the perimeter and the area of unions of copies of a fixed set, Discrete Comput. Geom. 45 (2011), no. 3, 400–409.

[3] Z. Gyenes, The ratio of the surface-area and volume of finite un ion of copies of a fixed set in $\mathbb {R} ^{n}$ , MSc thesis, 2005.

[4] Viktor Kiss, Zoltán Vidnyánszky. Unions of regular polygons with large perimeter-to-area ratio (англ.) // Discrete Comput. Geom.. — 2015. — Vol. 53. — P. 878—889. Архивировано 17 августа 2016 года.

[1]

[2]

[3]

[4]