Идеальный треугольник

Идеальный треугольник — треугольник в геометрии Лобачевского, все три вершины которого являются идеальными, или бесконечно удалёнными, точками. Идеальные треугольники иногда называют трижды асимптотическими треугольниками. Их вершины иногда называют идеальными вершинами. Все идеальные треугольники равны.

Три идеальных треугольника в модели Пуанкаре в круге

Два идеальных треугольника в модели Пуанкаре в верхней полуплоскости

Свойства

Идеальные треугольники обладают следующими свойствами:

• Все идеальные треугольники равны между собой.
• Все внутренние углы идеального треугольника равны нулю.
• Идеальный треугольник имеет бесконечный периметр.
• Идеальный треугольник является наибольшим возможным треугольником в геометрии Лобачевского.

В стандартной плоскости Лобачевского (поверхности, где кривизна Гаусса постоянна и равна −1) идеальный треугольник также обладает следующими свойствами:

• Площадь такого треугольника равна π.

Dimensions related to an ideal triangle and its incircle, depicted in the Beltrami–Klein model (left) and the Poincaré disk model (right)

• Радиус вписанной окружности равен $r=\ln {\sqrt {3}}={\frac {1}{2}}\ln 3\approx 0.549$.

Расстояние от любой точки треугольника до его ближайшей стороны меньше или равно вышеуказанному радиусу, причём точно это равенство выполняется только в центре вписанной окружности.

• Вписанная окружность касается треугольника в трёх точках, образуя равносторонний треугольник со стороной $d=\ln \left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{{\sqrt {5}}-1}}\right)=2\ln \varphi \approx 0.962$, где $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ есть золотое сечение.

Окружность с радиусом d вокруг точки внутри треугольника соприкоснётся как минимум с двумя сторонами треугольника или пересечёт их.

• Расстояние от любой точки стороны такого треугольника до другой стороны меньше или равно $a=\ln \left(1+{\sqrt {2}}\right)\approx 0.881$, причём точно равенство выполняется только для вышеописанных точек соприкосновения.

a также является высотой треугольника Швейкарта.

Если кривизна пространства равна -K, отличному от −1, площади выше следует умножить на $1/K$, а длины и расстояния — на $1/{\sqrt {K}}$.

Положение δ-тонкого треугольника на δ-гиперболическом пространстве

Поскольку идеальный треугольник является наибольшим возможным в геометрии Лобачевского, вышеуказанные значения являются наибольшими возможными для треугольников в геометрии Лобачевского. Этот факт является важным для изучения пространства Лобачевского.

Модели

В модели Пуанкаре в круге плоскости Лобачевского, идеальный треугольник образован тремя окружностиями, пересекающими граничную окружность под прямым углом.

В модели Пуанкаре в полуплоскости идеальный треугольник выглядит как арбелос — фигура между тремя соприкасающимися полуокружностями.

В проективной модели идеальный треугольник — евклидов треугольник, вписанный в граничную окружность. При этом на проективной модели углы при вершинах идеального треугольника не равны нулю, поскольку эта модель, в отличие от моделей Пуанкаре, не сохраняет углы.

Вещественная группа идеального треугольника

Модель Пуанкаре, замощённая идеальными треугольниками

Идеальная (∞ ∞ ∞) группа треугольника

Другое идеальное замощение

Вещественная группа идеального треугольника — группа преобразований, порождённая отражениями плоскости Лобачевского относительно сторон идеального треугольника. Как абстрактная группа она изоморфна свободному произведению трёх групп из двух элементов. В результате отражений получается замощение плоскости Лобачевского идеальными треугольниками.

Библиография

• Schwartz, Richard Evan. Ideal triangle groups, dented tori, and numerical analysis (англ.) // Annals of Mathematics : journal. — 2001. — Vol. 153, no. 3. — P. 533—598. — doi:10.2307/2661362. — arXiv:math.DG/0105264. — .