Открыть главное меню

Индикатриса Дюпена

Индикатриса Дюпена или индикатриса кривизны — плоская кривая, которая даёт наглядное представление об искривленности поверхности в данной её точке.

Определение и свойстваПравить

Индикатриса Дюпена лежит в плоскости, касательной к поверхности   в точке  , и является совокупностью концов отрезков, отложенных от точки   в направлении   в касательной плоскости и имеющих длину, равную  , где   — абсолютная величина нормальной кривизны поверхности   в точке   в направлении  . Уравнение индикатрисы Дюпена имеет вид

 

где   — вектор касательной плоскости, a  вторая фундаментальная форма поверхности  , в точке  .

Индикатриса Дюпена представляет собой:

  • эллипс, если   — эллиптическая точка поверхности, т.е. гауссова кривизна положительна.
  • пару сопряженных гипербол, если   — гиперболическая точка поверхности, т.е. гауссова кривизна отрицательна;
  • пару параллельных прямых, если   — параболическая точка поверхности, т.е. гауссова кривизна равна нулю, но средняя кривизна не равна нулю.

ИсторияПравить

Индикатриса Дюпена названа по имени Дюпена, впервые применившего эту кривую к исследованию поверхностей (1813).

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
  • Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
  • Фиников С. П. Теория поверхностей, — Любое издание.