Интеграл Якоби

В небесной механике интеграл Якоби является единственной известной сохраняющейся величиной в рамках ограниченной круговой задачи трёх тел. В отличие от задачи двух тел, энергия и момент системы не сохраняются по отдельности и общее аналитическое решение получить не удается. Интеграл Якоби используется для получения численного решения в отдельных случаях.

Определение

Синодическая система

Синодическая система координат

Одной из удобных систем координат является так называемая синодическая система с началом координат в барицентре, при этом линия, соединяющая массы μ₁ и μ₂, выбрана в качестве оси x, а расстояние между ними выбрано в качестве единицы расстояния. Поскольку система вращается вместе с телами, то они остаются неподвижными и расположенными в точках с координатами (−μ₂, 0) и (+μ₁, 0)¹.

В системе координат (x, y) постоянная Якоби имеет вид

$C_{J}=n^{2}(x^{2}+y^{2})+2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right)-\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right),$

где:

• $n={\frac {2\pi }{T}}$ — среднее движение (орбитальный период T),
• $\mu _{1}=Gm_{1}\,\!,\mu _{2}=Gm_{2}\,\!$, для двух масс m₁, m₂ и гравитационной постоянной  G,
• $r_{1}\,\!,r_{2}\,\!$ — расстояния от тестовой частицы до двух массивных тел.

Заметим, что интеграл Якоби равен минус удвоенной полной энергии в расчёте на единицу массы во вращающейся системе отсчёта: первое слагаемое относится к центробежной потенциальной энергии, второе относится к гравитационному потенциалу, третье — кинетическая энергия. В данной системе отсчёта силы, действующие на частицу, включают две гравитационные силы со стороны тел, центробежную силу и силу Кориолиса. Поскольку первые три силы можно выразить через потенциалы, а последняя перпендикулярна траектории, все они консервативны, поэтому энергия, измеряемая в данной системе энергия (следовательно, и интеграл Якоби), сохраняется.

Сидерическая система

Инерциальная система.

В инерциальной (сидерической) системе отсчёта (ξ, η, ζ) массы вращаются вокруг барицентра. В данной системе координат постоянная Якоби имеет вид

$C_{J}=2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right)+2n\left(\xi {\dot {\eta }}-\eta {\dot {\xi }}\right)-\left({\dot {\xi }}^{2}+{\dot {\eta }}^{2}+{\dot {\zeta }}^{2}\right).$

Вывод

В синодической системе ускорения можно представить в виде производных от скалярной функции

$U(x,y,z)={\frac {n^{2}}{2}}(x^{2}+y^{2})+{\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}.$

Рассмотрим уравнения Лагранжа для движения тела:

${\ddot {x}}-2n{\dot {y}}={\frac {\delta U}{\delta x}},$

${\ddot {y}}+2n{\dot {x}}={\frac {\delta U}{\delta y}},$

${\ddot {z}}={\frac {\delta U}{\delta z}},$

После умножения уравнений на ${\dot {x}},{\dot {y}}$ и ${\dot {z}}$ соответственно и сложения всех трёх выражений получим равенство

${\dot {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}={\frac {\delta U}{\delta x}}{\dot {x}}+{\frac {\delta U}{\delta y}}{\dot {y}}+{\frac {\delta U}{\delta z}}{\dot {z}}={\frac {dU}{dt}}.$

После интегрирования получим выражение

${\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}=2U-C_{J},$

где C_J — постоянная интегрирования.

Левая часть равенства является квадратом скорости v пробной частицы в синодической системе отсчёта.

¹Данная система координат является неинерциальной, что объясняет появление слагаемых, связанных с центробежной силой и силой Кориолиса.

Литература

• Carl D. Murray and Stanley F. Dermot Solar System Dynamics [Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999], pages 68–71. (ISBN 0-521-57597-4)