Итерационная формула Герона

Итерацио́нная фо́рмула Геро́на имеет вид

$x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\$,

где a — фиксированное положительное число, а $x_{1}$ — любое положительное число.

Итерационная формула задаёт убывающую (начиная со 2-го элемента) последовательность, которая при любом выборе $x_{1}$ быстро сходится к величине ${\sqrt {a}}$ (квадратный корень из числа), то есть

$\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}={\sqrt {a}}$

Эту формулу можно получить, применяя метод Ньютона к решению уравнения $a-x^{2}=0$.

Пример

Попробуем вычислить квадратный корень для 25, используя округления при вычислениях. Пусть нашим первым предположением для значения ${\sqrt {25}}$ будет значение 3.

n	$x_{n}$	$x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\$	Приблизительное значение $x_{n+1}$
1	3	${\frac {1}{2}}~\left(3+{\frac {25}{3}}\right)\$	${\frac {1}{2}}~(3+8.33)={\frac {1}{2}}\cdot 11.33\approx 5.67$
2	5.67	${\frac {1}{2}}~\left(5.67+{\frac {25}{5.67}}\right)\$	${\frac {1}{2}}~(5.67+4.41)={\frac {1}{2}}\cdot 10.08=5.04$
3	5.04	${\frac {1}{2}}~\left(5.04+{\frac {25}{5.04}}\right)\$	${\frac {1}{2}}~(5.04+4.96)={\frac {1}{2}}\cdot 10=5$
4	5	${\frac {1}{2}}~\left(5+{\frac {25}{5}}\right)\$	${\frac {1}{2}}~(5+5)={\frac {1}{2}}\cdot 10=5$

Геометрическая интерпретация

Эта формула имеет простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим прямоугольник с площадью а и стороной x₁. Будем производить его итерационное квадрирование. А именно — одну сторону нового прямоугольника сделаем равной среднему арифметическому обеих сторон предыдущего шага. А вторую сторону возьмём такой, чтобы площадь нового прямоугольника снова была равна а. На следующих шагах будем повторять этот же процесс.

Литература

• Ancient Square Roots
• Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures