Открыть главное меню

Итерацио́нная фо́рмула Геро́на имеет вид

,

где a — фиксированное положительное число, а  — любое положительное число.

Итерационная формула задаёт убывающую (начиная со 2-го элемента) последовательность, которая при любом выборе быстро сходится к величине (квадратный корень из числа), то есть

Эту формулу можно получить, применяя метод Ньютона к решению уравнения .

ПримерПравить

Попробуем вычислить квадратный корень для 25, используя округления при вычислениях. Пусть нашим первым предположением для значения   будет значение 3.

n     Приблизительное значение  
1 3    
2 5.67    
3 5.04    
4 5    

Геометрическая интерпретацияПравить

Эта формула имеет простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим прямоугольник с площадью а и стороной x1. Будем производить его итерационное квадрирование. А именно — одну сторону нового прямоугольника сделаем равной среднему арифметическому обеих сторон предыдущего шага. А вторую сторону возьмём такой, чтобы площадь нового прямоугольника снова была равна а. На следующих шагах будем повторять этот же процесс.

ЛитератураПравить