Квантовая плоскость

Определение

Пусть $q$ — обратимый элемент поля $\mathbb {K}$, $I_{q}$ — двусторонний идеал свободной алгебры $\mathbb {K} \{x,y\}$, порождённый элементом $yx-qxy$.

Квантовой плоскостью называется фактор-алгебра $\mathbb {K} _{q}[x,y]=\mathbb {K} \{x,y\}/I_{q}$.

Пусть $R$ — алгебра над полем $\mathbb {K}$. Тогда пара $(X,Y)$ элементов из $R$, удовлетворяющая соотношению $YX=qXY$ называется R-точкой квантовой плоскости. Имеет место естественная биекция

$Hom_{Alg}(\mathbb {K} _{q}[x,y],R)\cong \{(X,Y)\in R\times R:YX=qX\}$.

Свойства

1. Пусть $\alpha$ — автоморфизм алгебры многочленов $\mathbb {K} [x]$, т.ч. $\alpha (x)=qx$. Тогда алгебра $\mathbb {K} _{q}[x,y]$ изоморфна расширению Оре $\mathbb {K} [x][y,\alpha ,0]$.
2. Пусть $x$ и $y$ — переменные, подчинённые соотношению квантовой плоскости $yx=qxy$. Для $n\in \mathbb {N}$ положим $(n)_{q}=1+q+...+q^{n-1}={\frac {q^{n}-1}{q-1}}$. Определим q-факториал числа $n$, полагая $(0)!_{q}=1,{\text{ }}(n!)_{q}=(q)_{1}(2)_{q}...(n)_{q}={\frac {(q-1)(q^{2}-1)...(q^{n}-1)}{(q-1)^{n}}}$. Определим многочлен Гаусса для $0\leq k\leq n$ по формуле ${\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}_{q}={\frac {(n)!_{q}}{(k!)_{q}(n-k)!_{q}}}$. Тогда выполняется равенство:$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}_{q}x^{k}y^{n-k}$.

Примеры

1. Пусть $M(2)$ — алгебра матриц $2\times 2$, $x$ и $y$ — переменные, подчинённые соотношению квантовой плоскости $yx=qxy$, $a,b,c,d$ — переменные, коммутирующие с $x$ и $y$. Определим $x',y',x'',y''$матричными соотношениями: ${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\text{ и }}{\begin{pmatrix}x''\\y''\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$. Тогда можно показать эквивалентность между двумя соотношениями квантовой плоскости $y'x'=qx'y'{\text{ и }}y''x''=qx''y''$и шестью соотношениями $ba=qab,{\text{ }}ca=qac,{\text{ }}bc=cb,$$db=qbd,{\text{ }}dc=qcd,{\text{ }}ad-da=(q^{-1}-q)bc$. Определим алгебру $M_{q}(2)$ как фактор-алгебру свободной алгебры $\mathbb {K} \{a,b,c,d\}$по двустороннему идеалу $J_{q}$, порождённому шестью соотношениями выше. Построенная алгебра $M_{q}(2)$ является q-аналогом алгебры $M(2)$.

Литература

• Кассель К. «Квантовые группы».