Коммутативность конъюнкции — общезначимая логическая форма аргумента и истинностно-функциональная тавтология, в логике высказываний. Рассматривается как закон классической логики. Согласно данному принципу, конъюнкты логической связки могут меняться местами друг с другом, сохраняя при этом истинностное значение итогового высказывания[1].
Формальное обозначение
правитьКоммутативность конъюнкции может быть сформулирована, в исчисление секвенций, следующим образом:
и
где — значение металогического символа, такое, что является синтаксическим следствием в одном случае, а является синтаксическим следствием в другом, в некоторой формальной системе.
или в форме правила вывода:
и
где действует правило, что везде, где есть экземпляр « » встречается в одной из строк доказательства, то его можно заменить на « », и где бы ни находился экземпляр « » появляется в строке доказательства, то может быть заменён на « »;
или как утверждение истинностно-функциональной тавтологии или теоремы логики высказываний:
и
где и — пропозиции, выраженные в некоторой формальной системе.
Обобщённый принцип
правитьДля любых пропозиций H1, H2, ... Hn и перестановки σ(n) чисел от 1 до n, справедливо, когда:
- Ч 1 Ч 2 ... Hn
эквивалентно
- H σ(1) H σ(2) H σ(n).
Например, если H1 это:
- Идёт дождь
H2 значит
- Сократ смертен
и H3 равен
- 2+2=4
тогда
Идёт дождь, и Сократ смертен, и 2+2=4
эквивалентно
Сократ смертен, а 2+2=4, и идёт дождь
и другие варианты порядка следования предикатов.
Наглядный пример
правитьПредположим два высказывания:
- A: читать книгу.
- B: слушать музыку.
Теперь составим из них конъюнкцию, то есть высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба компонента:
- A и B: читать книгу и слушать музыку.
Но также можно поменять местами A и B, получив другую конъюнкцию:
- B и A: слушать музыку и читать книгу.
Заметим, что обе конъюнкции имеют одинаковое значение истинности, то есть они эквивалентны и конъюнкция коммутативна, то есть не зависит от порядка своих компонентов.
Формальная запись выглядит так:
- A и B = B и A
или, используя символы логики:
- A ⋀ B = B ⋀ A
Это утверждение является тавтологией, то есть всегда истинным независимо от значений A и B.
Примечания
править- ↑ Elliott Mendelson. Introduction to Mathematical Logic. — CRC Press, 1997. — ISBN 0-412-80830-7.