Координаты Леметра

Координа́ты Леме́тра — координаты в пространстве-времени Шварцшильда, впервые полученные Жоржем Леметром в 1933 году при помощи преобразования координат. В этих координатах была впервые устранена координатная сингулярность на гравитационном радиусе.

Метрика Леметра

Метрика Шварцшильда в системе $c=G=1$ дана выражением:

$ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{g}}{r}}\right)\,dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\dfrac {r_{g}}{r}}}}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}),$

где $ds^{2}$ — интервал;

• $r_{g}=2M$ — гравитационный радиус;
• $M$ — масса центрального тела;
• $t,\;r,\;\theta ,\;\varphi$ — координаты Шварцшильда, асимптотически превращающиеся в плоские сферические координаты;
• $c$ — скорость света;
• $G$ — гравитационная постоянная.

В метрике Шварцшильда присутствует сингулярность на гравитационном радиусе при $r=r_{g}$.

Жорж Леметр первым указал, что эта сингулярность не является физической, а является следствием того, что стационарные координаты Шварцшильда невозможно реализовать с помощью физических тел под гравитационным радиусом. Действительно, под гравитационным радиусом все тела, включая лучи света, падают по направлению к центру и никакими силами невозможно удержать физическое тело на постоянном радиусе.

Преобразование от координат Шварцшильда $\{t,\;r\}$ к новым координатам Леметра $\{\tau ,\;\rho \}$:

${\begin{cases}d\tau =dt+{\sqrt {\dfrac {r_{g}}{r}}}{\dfrac {1}{1-{\dfrac {r_{g}}{r}}}}\,dr;\\d\rho =dt+{\sqrt {\dfrac {r}{r_{g}}}}{\dfrac {1}{1-{\dfrac {r_{g}}{r}}}}\,dr\end{cases}}$

приводит к метрике Леметра:

$ds^{2}=d\tau ^{2}-{\frac {r_{g}}{r}}\,d\rho ^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}),$

где

$r=\left[{\frac {3}{2}}(\rho -\tau )\right]^{2/3}r_{g}^{1/3}.$

В координатах Леметра сингулярность на гравитационном радиусе, где ${\frac {3}{2}}(\rho -\tau )=r_{g}$, отсутствует. Истинная же сингулярность в центре, $\rho -\tau =0$, сохраняется.

Метрика Леметра является синхронной — тела, неподвижные в координатах Леметра, находятся в состоянии свободного падения в гравитационном поле центрального тела. Вертикально падающие тела достигают гравитационного радиуса и центра за конечное собственное время.

Вдоль траектории луча света

$dr=\left(\pm 1-{\sqrt {\frac {r_{g}}{r}}}\right)\,d\tau ,$

поэтому никакой сигнал не может выйти за пределы гравитационного радиуса, где всегда $dr<0$, и лучи света, испущенные вертикально вверх и вниз, оба оказываются в центре.