Сумма ДарбуПравить

ОпределениеПравить

 
Нижняя (зеленая) и верхняя (серая) суммы Дарбу на 4 отрезках разбиения

Пусть на отрезке   определена вещественнозначная функция  . Рассмотрим разбиение

 .

Введем обозначения

 ,
 .

Наконец, рассмотрим суммы

  — нижняя сумма Дарбу,
  — верхняя сумма Дарбу.

Свойства сумм ДарбуПравить

  • Нижняя сумма Дарбу не превосходит верхней суммы Дарбу на заданном разбиении.
 ;
 
Поведение нижней (зеленая) и верхней (серая) сумм Дарбу на измельчении разбиения
  • При добавлении к имеющемуся разбиению новых точек нижняя сумма Дарбу никак не может уменьшиться. Верхняя же сумма Дарбу при добавлении точек к имеющемуся разбиению никак не может увеличиться.
 ,
  означает, что   есть измельчение разбиения  ;
  • Каковы бы ни были два разбиения одного и того же отрезка, нижняя сумма Дарбу на одном разбиении не превосходит верхней суммы Дарбу на другом разбиении.
 ,
Следствие: нижние суммы Дарбу ограничены сверху, а верхние — снизу.
  • Пусть   и   — верхний и нижний интегралы Дарбу соответственно. Тогда
 ;
  • Пусть   — интегральная сумма. Тогда  
 ,
 .

Интеграл ДарбуПравить

Верхним интегралом Дарбу называют число

 ,

где   — некоторое разбиение множества, а   — его верхняя сумма Дарбу.

Соответственно нижним интегралом Дарбу называют:

 ,

где   — нижняя сумма Дарбу.

Критерий Дарбу интегрируемости функцииПравить

Приведенные утверждения даны для функции одной переменной.

Пусть вещественнозначная функция   определена и ограничена на отрезке  . Пусть   и   — верхний и нижний интегралы Дарбу функции   на заданном отрезке соответственно. Тогда следующие 3 условия эквивалентны:

  •   интегрируема по Риману на отрезке  ,
  •  ,
  •  , где   и   — некоторое разбиение и его мелкость.

ОбобщенияПравить

ЛитератураПравить

  • Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 10. Определенный интеграл // Основы математического анализа. — 4. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — Т. 1. — 648 с. — (Курс высшей математики и математической физики). — 5000 экз. — ISBN 5-9221-0131-5.
  • Кудрявцев, Л. Д. Глава 3. Интегральное исчисление функций одной переменной // Курс математического анализа. — М.: Высшая школа, 1981. — Т. 1.