Символ Лежандра — функция, используемая в теории чисел. Введён французским математиком А. М. Лежандром. Символ Лежандра является частным случаем символа Якоби, который, в свою очередь, является частным случаем символа Кронекера — Якоби, который иногда называют символом Лежандра — Якоби — Кронекера.
Определение
правитьПусть — целое число, и — простое число. Символ Лежандра определяется следующим образом:
- , если делится на
- , если является квадратичным вычетом по модулю , но при этом не делится на
- , если является квадратичным невычетом по модулю
Свойства
править- Мультипликативность: . Очевидными свойствами мультипликативности являются также следующие:
- если не делится на , то
- если — каноническое разложение на простые множители, то
- .
- Если , то
- .
- .
- Лемма Гаусса о квадратичных вычетах.
- Критерий Эйлера:
- Если , то:
- (частный случай критерия Эйлера);
Доказательство
Если и нечётно, то , причём чётно, и наоборот. Поэтому
где в последнем произведении числа под знаками чётны, причём встречаются все чётные числа. Таким образом, обозначая , имеем
Поэтому , что, по критерию Эйлера, доказывает утверждение.
- Квадратичный закон взаимности: Пусть p и q — неравные нечетные простые числа, тогда
- Если , то
- .
- При среди чисел ровно половина имеет символ Лежандра, равный 1, а другая половина — равный −1.
Литература
править- Виноградов И. М. Основы теории чисел. — Москва: ГИТТЛ, 1952. — С. 180. — ISBN 5-93972-252-0.