Символ Лежандра

Символ Лежандра — функция, используемая в теории чисел. Введён французским математиком А. М. Лежандром. Символ Лежандра является частным случаем символа Якоби, который, в свою очередь, является частным случаем символа Кронекера — Якоби, который иногда называют символом Лежандра — Якоби — Кронекера.

ОпределениеПравить

Пусть a — целое число, и p — простое число, отличное от 2. Символ Лежандра   определяется следующим образом:

  •  , если a делится на p;
  •  , если a является квадратичным вычетом по модулю p (то есть существует такое целое x, что  ), но при этом a не делится на p;
  •  , если a является квадратичным невычетом по модулю p.

СвойстваПравить

  • Мультипликативность:  . Очевидными свойствами мультипликативности являются также следующие:
    • если   не делится на  , то  
    • если  каноническое разложение   на простые множители, то
       
  • Если  , то
     
  •  
  • Если  , то:
 
 
  • Квадратичный закон взаимности: Пусть p и q — неравные нечетные простые числа, тогда
     
  • Если  , то
 .
 

ЛитератураПравить