Лемма Жордана

Лемма Жордана была предложена Жорданом в 1894 году[1]. Применяется в комплексном анализе совместно с основной теоремой о вычетах при вычислении некоторых интегралов, например, контурных. Имеет три формы[2].

ФормулировкаПравить

Пусть   непрерывна в замкнутой области  . Обозначим через   полуокружность  . Пусть также  
Тогда при   имеем


 

ДоказательствоПравить

По определению интеграла

 

Далее, сделаем оценку:

 

Полагая

 

получим

 

Функция sin θ вогнута на отрезке θ ∈ [0, π ⁄ 2], поэтому при указанных θ выполнено неравенство

 

Значит,

 

откуда следует требуемое, так как  


См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Jordan С, Cours d'analyse, t. 2, 2 ed., P., 1894, p. 285-86
  2. Математика задачи на интегрирование и дифференцирование. Вычисления несобственного интеграла. Лемма Жордана (недоступная ссылка). Дата обращения: 19 мая 2015. Архивировано 20 мая 2015 года.

СсылкиПравить

  • 1.7.4. Лемма К. Жордана в комплексном пространстве Y / В. И. ЕЛИСЕЕВ. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
  • ЖОРДАНА ЛЕММА / Е. Д. Соломенцев., Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.