Лемма Жордана

Не следует путать с теоремой Жордана.

Лемма Жордана была предложена Жорданом в 1894 году. Применяется в комплексном анализе совместно с основной теоремой о вычетах при вычислении некоторых интегралов, например, контурных. Имеет три формы.

Формулировка

Полуокружность $C_{R}=C_{1}$ (красный цвет) вместе с отрезком $C_{2}$ (синий цвет) образуют замкнутый контур. Область G состоит из точек верхней полуплоскости, лежащих вне его.

Пусть функция $f(z)$ непрерывна в замкнутой области $G=\left\{z\mid \mathrm {Im} \,z\geq 0,\left|z\right|\geq R_{0}>0\right\}$. Обозначим через $C_{R}$ полуокружность $|z|=R,\,\mathrm {Im} \,z\geq 0$. Пусть также выполнено условие $\lim _{R\to \infty }\max _{z\in C_{R}}\left|f(z)\right|=0.$
Тогда при любом $a>0$ имеет место равенство $\lim _{R\to \infty }\int \limits _{C_{R}}f(z)e^{iaz}\,dz=0.$

См. также

• Вычет (комплексный анализ)

Ссылки

• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• 1.7.4. Лемма К. Жордана в комплексном пространстве / В. И. Елисеев. Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного.
• ЖОРДАНА ЛЕММА / Е. Д. Соломенцев. Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.