Лемма о рукопожатиях

Лемма о рукопожатиях — положение теории графов, согласно которому любой конечный неориентированный граф имеет чётное число вершин нечётных степеней. Название происходит от известной математической задачи: необходимо доказать, что в любой группе число людей, пожавших руку нечётному числу других людей, чётно.

Чётное число вершин (четыре: 2, 4, 5 и 6) данного графа имеют нечётную степень. Сумма степеней всех вершин равна 14, то есть удвоенному числу рёбер графа.

Лемма является следствием формулы суммы степеней, также иногда называемой леммой о рукопожатиях:

для графа с множеством вершин и множеством рёбер . Оба результата доказаны Эйлером в докладе о семи мостах Кёнигсберга (1736), положившем начало исследованиям в области теории графов.

Вершины нечётных степеней графа иногда называются нечётными вершинами или нечётными узлами; используя эту терминологию, можно перефразировать лемму таким образом: каждый граф имеет чётное число нечётных вершин.

Формула суммы степеней подразумевает, что -регулярный граф с числом вершин имеет рёбер[1]; в частности, если нечётно, число рёбер должно делиться на .

Лемма неприменима к бесконечным графам, даже если они имеют конечное число нечётных вершин. Например, бесконечный путь с одной концевой вершиной имеет единственную нечётную вершину (то есть, нечётное количество).

Лемма использована в одном из доказательств леммы Шпернера, а также «задачи о восхождении на гору».

ДоказательствоПравить

При формулы степеней Эйлер использовал технику двойного (повторного) счёта: посчитал количество инцидентных пар  , где   — ребро и   — одна из его концевых вершин двумя разными способами. При добавлении ребра сумма степеней вершин графа увеличивается на 2, то есть вершина   принадлежит   парам, где   — степень вершины (количество инцидентных ей рёбер). Следовательно, число инцидентных пар совпадает с суммой всех степеней. Однако каждое ребро принадлежит двум инцидентным парам, так как имеет две концевые вершины. Поэтому число инцидентных пар равно  . Поскольку две данные формулы предназначены для одного и то же множества, их значения одинаковы.

Чётность или нечётность суммы целых чисел не зависит от количества чётных слагаемых. Сумма чётна, если число нечётных слагаемых чётно (и нечётна в противном случае). Так как одна часть уравнения всегда чётна  , другая часть должна содержать чётное число нечётных слагаемых, то есть вершин нечётной степени.

ПримечанияПравить

  1. Олдес, Джоан M. & Уилсон, Робин Дж. (2000), Theorem 2.2, Graphs and Applications: an Introductory Approach, Undergraduate Mathematics Series, The Open University, Springer-Verlag, с. 44, ISBN 978-1-85233-259-4 

ЛитератураПравить