Декартов листплоская алгебраическая кривая третьего порядка, удовлетворяющая уравнению в прямоугольной системе . Параметр определяется как диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде петли.

Декартов лист

История

править
 
«Цветок Жасмина»

Впервые уравнение кривой исследовал Р. Декарт в 1638 году, однако он построил только петлю в первом координатном угле, где   и   принимают положительные значения. Декарт полагал, что петля симметрично повторяется во всех четырёх координатных четвертях, в виде четырёх лепестков цветка. В то время эта кривая называлась цветком жасмина (англ. jasmine flower, фр. fleur de jasmin).

В современном виде эту кривую впервые представил Х. Гюйгенс в 1692 году.

Уравнения

править
 
 
  • Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:
 , где  .
 
Повёрнутый декартов лист

Часто рассматривают повёрнутую на   кривую. Её уравнения выглядят так:

  • В прямоугольной системе:
 , где  
  • Параметрическое:
 
  • В полярных координатах:
 

Свойства

править
  • Прямая   — ось симметрии, её уравнение:  .
  • Точка A называется вершиной, её координаты  .
  • Для обеих ветвей существует асимптота  , её уравнение:  .
  • Площадь области между дугами   и    
  • Площадь области между асимптотой и кривой равна площади петли  .
  • Объём тела, образованного при вращении дуги   вокруг оси абсцисс  

Исследование кривой

править

При   имеем   или  , или  , то есть  .

Уравнение асимптоты UV определяется из выражения:

 .

Производная

править

Чтобы найти максимальное значение функции и уравнение касательной, вычислим производную функции:

 
 .

Приравниваем производную y' к нулю и решаем полученное уравнение относительно x. Получим:  . При этом значении x функция (2) имеет максимум на верхней дуге   — точка   и минимум на нижней дуге   — точка  . Значение функции в этих точках равно:

 .

Значение производной y’ в точке   равно  , то есть касательные в точке   взаимно перпендикулярны и наклонены к оси абсцисс под углом  .

См. также

править

Ссылки

править
  • Д. К. Бобылёв. Декартов лист // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.