Однолистная функция

Однолистная функция — комплексная функция $f(z)$, голоморфная или мероморфная в области $A\in \mathbb {C}$ и являющаяся биективным отображением между множеством $A$ и его образом $f(A)$.

Аналитическая функция $f$ локально однолистна в точке $z_{0}$, если существует некоторая окрестность ${\mathcal {U}}_{z_{0}}$, где $f$ однолистна (то есть $f'(z_{0})\neq 0$). Максимальная область однолистности для функции $f(z)$ — это область $A\subset \mathbb {C}$, в которой $f(z)$ однолистна, но в любой области $A'\supset A$ функция уже не является однолистной.

Принцип однолистности: функция $f$, аналитичная в области $G$, которая продолжается непрерывно на жорданову кривую $\partial G$ и осуществляет взаимно однозначное отображение $\partial G$ на $f(\partial G)$, однолистна в $G$.

Примеры

Функция $f:z\mapsto 2z+z^{2}$ является однолистной в открытом единичном круге: из $f(z)=f(w)$ следует, что $f(z)-f(w)=(z-w)(z+w+2)=0$, и так как $\left\vert z+w\right\vert <2$, то $f(z)=f(w)$ лишь при $z=w$.

См. также

• Гипотеза Бибербаха
• Вариация однолистной функции
• Многозначная функция

Литература

• Дженкинс, Дж.. Однолистные функции и конформные отображения / пер. с англ. В. П. Хавина. — М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
• Милин, И. М. Однолистные функции и ортонормированные системы. — М.: Наука, 1971.