Адам начал свою карьеру в молодёжной команде «Сент-Джонс Фог Девилз» в Главной юниорской хоккейной лиге Квебека (QMJHL). Он играл за «Сент-Джонс» в течение двух сезонов, пока не был выбран «Баффало» на драфт НХЛ 2008 года. После сезона 2007/2008 «Сент-Джонс Фог Девилз» переехал в Монреаль, где стал именоваться «Монреаль Джуниорс». Перед сезоном 2009/2010 Адам был обменян в «Кейп-Бретон Скриминг Иглз». В этом же году Люк был приглашен в молодёжную сборную Канады для участия в МЧМ-2010, проходившем в канадских городах Саскатун и Реджайна. Вместе с командой Адам завоевал серебряные медали, заработав 8 очков в 6 играх.
26 октября 2010 года Адам провёл свой дебютный матч в НХЛ. В этом матче «Баффало» потерпел поражение от «Филадельфии Флайерз» со счетом 3:6[2]. 7 декабря 2010 года, в выездном матче против «Бостон Брюинз», Люк забросил свою первую шайбу в НХЛ[3].
В сезоне 2011/12 Адам вошел в состав участников матча молодых звёзд НХЛ[4]. Это сезон стал лучшим для нападающего в НХЛ, в котором он заработал 20 (10+10) результативных баллов в 52 играх. Следующие сезоны Адам проводил преимущественно в фарм-клубе «Сейбрз» в Американской хоккейной лиге (АХЛ) «Рочестер Американс». Люк играл в системе «Баффало» до 16 декабря 2014 года, пока не был обменян в «Коламбус Блю Джекетс» на Джерри Д’Амиго[5]. За «Блю Джекетс» он сыграл только в трёх матчах, основное время находясь в фарм-клубе.
Перед сезоном 2015/16 Адам подписал двусторонний контракт с клубом «Нью-Йорк Рейнджерс»[6]. После тренировочного лагеря «Рейнджерс» канадец был отправлен в фарм-клуб в АХЛ «Хартфорд Вулф Пэк», где он провёл весь сезон, не сыграв ни разу за основную команду. По окончании сезона Люк подписал контракт с клубом «Адлер Мангейм», выступающим в Немецкой хоккейной лиге (DEL). В сезоне 2018/19 Адам помог своей команде выиграть чемпионский кубок. По окончании того сезона Люк в качестве свободного агента перешёл в другой клуб лиги — «Дюссельдорф»[7]. В новой команде Адам был назначен альтернативным капитанов — впервые в своей карьере в Германии. За «Дюссельдорф» сыграл 48 игр, в которых набрал 30 (14+16) результативных баллов. 20 ноября 2020 года канадец подписал однолетний контракт с другим немецким клубом — «Нюрнберг Айс Тайгерс»[8].