Метод локализации

Метод локализации — метод синтеза систем автоматического управления нелинейными и нестационарными объектами, включающий формирование управления как функции вектора скорости и обеспечивающий локализацию и подавление действия возмущений.

Формулировка задачи синтеза

Рассматривает задача управления нелинейными и нестационарными объектами, модель поведения которых имеет вид

$\left\{{\begin{matrix}{\dot {x}}=f(t,x,u),\\y=g(t,x),\end{matrix}}\right.$

где $x\in R^{n}$; $(y,u)\in R^{m}$; $m\leqslant n$; $f$ и $g$ - однозначные непрерывно дифференцируемые функции. Явная зависимость правой части от $t$ отражает действие возмущений, которые могут быть порождены как нестационарностью характеристик, так и действием аддитивных (сигнальных) возмущений.

Цель функционирования состоит в организации свойства:

$\lim y(t)=v$ при $t\rightarrow \infty$.

Динамика процесса $y(t)\rightarrow v$ должна отвечать требованиям по быстродействию и колебательности. В соответствии с этими требованиями конструируется эталонное (желаемое) дифференциальное уравнение для $y$, которому необходимо подчинить движение объекта.

Задачей синтеза является отыскание такого закона управления $u(\cdot )$, чтобы замкнутая система

$\left\{{\begin{matrix}{\dot {x}}=f(t,x,u(\cdot )),\\y=g(t,x)\end{matrix}}\right.$

отвечала требованиям к статике и динамике.

Идея метода локализации

Метод локализации предполагает, что управление формируется не только в виде функции состояния $x(t)$, но и в функции вектора скорости ${\dot {x}}(t)$. Если движение объекта описывается уравнением ${\dot {x}}(t)=f(t,x,u)$, то использование ${\dot {x}}$ означает текущую оценку правой части уравнения и, следовательно, действия всех возмущений и проявления всех свойств объекта управления. Полагается, что управление имеет вид

$u=u(x,{\dot {x}},v)$.

Такое управление придает дополнительные технические возможности, которые объясняются эффектом локализации, хорошо «видимым» при структурной интерпретации управления в функции вектора скорости.

Управление объектом первого порядка

Для иллюстрации метода локализации рассматривается задача управления нелинейным нестационарным объектом вида

${\dot {x}}=f(t,x)+b(t,x)u$, $b(t,x)>0$, $(x,u)\in R^{1}$

где $x$ - состояние объекта; выход объекта $y=x$; $u$ - управление.

От замкнутой системы требуются динамические свойства, соответствующие дифференциальному уравнению

${\dot {x}}=F(x,v)$, $v\in R^{1}$,

здесь $F$ - уравнение эталонной (желаемой) динамики.

Управление организуется по закону

$u=k(F(x,v)-{\dot {x}})$,

где $k$ — положительный коэффициент. При подстановке закона управления в уравнение объекта получается система вида

${\dot {x}}={{bk} \over {1+bk}}F(x,v)+{{1} \over {1+bk}}f(t,x)$.

Видно, что при увеличении коэффициента $k$, находящегося в нашем распоряжении, уравнение системы приближается к заданному и в пределе, при $k\rightarrow \infty$, вырождается в него.

Литература

• Utkin V. I. Control systems with decoupling motions / V. I. Utkin, A. S. Vostrikov // Preprints of 7-th kongress IFAC. Helsinki (Finland), 1978. 1978. Vol. 2., p.967-973.
• Востриков А. С. Синтез систем регулирования методом локализации: Монография. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2007. 252 с.
• Востриков А. С. Проблема синтеза регуляторов для систем автоматики: состояние и перспективы. // Автометрия, 2010. №2, том 46. C. 3–19.

Ссылки

• Интернет-семинара по проблемам синтеза систем автоматического регулирования