Открыть главное меню

Метод регуляризации Тихонова — алгоритм, позволяющий находить приближённое решение некорректно поставленных операторных задач вида . Был разработан А. Н. Тихоновым в 1965 году[1]. Основная идея заключается в нахождении приближённого решения уравнения в виде , где — регуляризирующий оператор. Он должен гарантировать, что при приближении к точному значению при приближённое решение стремилось бы к желаемому точному решению уравнения .[2]

Регуляризирующий операторПравить

Оператор  , зависящий от параметра  , называется регуляризующим для уравнения  , если он обладает свойствами:

  • Определён для всякого   и любого  .
  • Если выполняется  , то существует такое  , что для любого   найдётся такое  , что если  , то  , где   и  .   — метрика в пространстве  , или же расстояние между векторами   и  . Аналогично   — метрика в пространстве  .

Способ построения регуляризирующих операторовПравить

Для широкого класса уравнений   А. Н. Тихонов показал, что решение задачи   минимизации функционала   можно рассматривать как результат применения регуляризирующего оператора, зависящего от параметра    . Функционал   называется стабилизатором задачи  .

Пример примененияПравить

Найдём нормальное (наиболее близкое к началу координат) решение   системы линейных уравнений   с точностью, соответствующей точности задания элементов матрицы   и столбца   в случае, когда значения элементов матрицы   и столбца свободных членов   заданы лишь приближённо.

Постановка задачиПравить

Рассмотрим систему линейных уравнений в матричной форме:  . Назовем сферическими нормами величины  . Обозначим как   известные приближённые значения элементов матрицы   и столбца  . Матрицу   и столбец   будем называть  -приближением матрицы   и столбца  , если выполняются неравенства  . Введём в рассмотрение функционал  . Теорема Тихонова сводит вопрос о приближённом нахождении нормального решения системы уравнений   к отысканию того элемента  , на котором достигает минимальное значение этот функционал.

Теорема ТихоноваПравить

Пусть матрица   и столбец   удовлетворяют условиям, обеспечивающим совместность системы  ,   — нормальное решение этой системы,   -приближение матрицы  ,   -приближение столбца  ,   и   — какие-либо возрастающие функции  , стремящиеся к нулю при   и такие, что  . Тогда для любого   найдётся положительное число   такое, что при любом   и при любом  , удовлетворяющем условию  , элемент  , доставляющий минимум функционалу  , удовлетворяет неравенству  [3][4].

ПримечанияПравить

  1. Тихонов А. Н. О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения // ДАН СССР, 1965, т. 163, № 3, с. 591—594.
  2. Арсенин, 1974, с. 264.
  3. Линейная алгебра, 2004, с. 100.
  4. Методы решения некорректных задач, 1979, с. 119.

ЛитератураПравить