Метод регуляризации Тихонова

Метод регуляризации Тихонова — алгоритм, позволяющий находить приближённое решение некорректно поставленных операторных задач вида $Ax=u$. Был разработан А. Н. Тихоновым в 1965 году. Основная идея заключается в нахождении приближённого решения уравнения $Ax=u$ в виде $x_{\delta }=R(u_{\delta },\alpha )$, где $R(u_{\delta },\alpha )$ — регуляризирующий оператор. Он должен гарантировать, что при приближении $u_{\delta }$ к точному значению $u_{T}$ при $\delta \to 0$ приближённое решение $x_{\delta }$ стремилось бы к желаемому точному решению $x_{T}$ уравнения $Ax_{T}=u_{T}$.

Регуляризирующий оператор

Оператор $R(u,\alpha )$, зависящий от параметра $\alpha$, называется регуляризующим для уравнения $Ax=u$, если он обладает свойствами:

• Определён для всякого $\alpha >0$ и любого $u\in U$.
• Если выполняется $Ax_{T}=u_{T}$, то существует такое $\alpha (\delta )$, что для любого $\varepsilon >0$ найдётся такое $\delta (\varepsilon )$, что если $\rho _{U}(u_{T},u_{\delta })\leqslant \delta (\varepsilon )$, то $\rho _{F}(x_{T},x_{\alpha })\leqslant \varepsilon$, где $x_{\alpha }=R(u_{\delta },\alpha )$, $\alpha =\alpha (\delta )$, $\rho _{U}$ — метрика в пространстве $U$ (то есть $\rho _{U}(u_{T},u_{\delta })$ — расстояние между векторами $u_{T}$ и $u_{\delta }$), а $\rho _{F}$ — метрика в пространстве $X$.

Способ построения регуляризирующих операторов

Для широкого класса уравнений $Ax=u$ А. Н. Тихонов показал, что решение задачи $x_{\alpha }$ минимизации функционала $M^{\alpha }\left[u_{\delta },x\right]=\rho _{U}^{2}(Ax,u_{\delta })^{2}+\alpha \Omega \left[x\right]$ можно рассматривать как результат применения регуляризирующего оператора, зависящего от параметра $\alpha$ $x_{\alpha }=R_{1}(u_{\delta },\alpha )$. Функционал $\Omega \left[x\right]$ называется стабилизатором задачи $Ax=u$.

Пример применения

Найдём нормальное (наиболее близкое к началу координат) решение $X$ системы линейных уравнений $AX=B$ с точностью, соответствующей точности задания элементов матрицы $A$ и столбца $B$ в случае, когда значения элементов матрицы $A$ и столбца свободных членов $B$ заданы лишь приближённо.

Постановка задачи

Рассмотрим систему линейных уравнений в матричной форме: $AX=B$. Назовем сферическими нормами величины $\|B\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}b_{i}^{2}}},\|X\|={\sqrt {\sum _{j=1}^{n}x_{j}^{2}}},\|A\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}^{2}}}$. Обозначим как ${\tilde {A}},{\tilde {B}}$ известные приближённые значения элементов матрицы $A$ и столбца $B$. Матрицу ${\tilde {A}}$ и столбец ${\tilde {B}}$ будем называть $\delta$-приближением матрицы $A$ и столбца $B$, если выполняются неравенства $\|A-{\tilde {A}}\|<\delta ,\|B-{\tilde {B}}\|<\delta$. Введём в рассмотрение функционал $F(X,{\tilde {A}},{\tilde {B}})=\|{\tilde {A}}X-{\tilde {B}}\|^{2}+\alpha \|X\|^{2}$. Теорема Тихонова сводит вопрос о приближённом нахождении нормального решения системы уравнений $AX=B$ к отысканию того элемента $X^{\alpha }$, на котором достигает минимальное значение этот функционал.

Теорема Тихонова

Пусть матрица $A$ и столбец $B$ удовлетворяют условиям, обеспечивающим совместность системы $AX=B$, $X^{0}$ — нормальное решение этой системы, ${\tilde {A}}$ — $\delta$-приближение матрицы $A$, ${\tilde {B}}$ — $\delta$-приближение столбца $B$, $\varepsilon \left(\delta \right)$ и $\alpha \left(\delta \right)$ — какие-либо убывающие функции $\delta$, стремящиеся к нулю при $\delta \rightarrow +0$ и такие, что $\delta ^{2}\leqslant \varepsilon \left(\delta \right)\alpha \left(\delta \right)$. Тогда для любого $\varepsilon >0$ найдётся положительное число $\delta _{0}$ такое, что при любом $\delta <\delta _{0}$ и при любом $\alpha$, удовлетворяющем условию ${\frac {1}{\varepsilon \left(\delta \right)}}\delta ^{2}\leqslant \alpha \leqslant \alpha \left(\delta \right)$, элемент $X^{\alpha }$, доставляющий минимум функционалу $F\left(X,{\tilde {A}},{\tilde {B}}\right)={\|{\tilde {A}}X-{\tilde {B}}\|}^{2}+\alpha {\|X\|}^{2}$, удовлетворяет неравенству $\|X^{\alpha }-X^{0}\|\leqslant \varepsilon$.

Литература

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — М.: Физматлит, 2004. — 280 с. — ISBN 5-9221-0481-0.
• Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1979. — 283 с.
• Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции. — М.: Наука, 1974. — 430 с.