Многогранник Ньютона

Многогранник Ньютона — многогранник с целочисленными вершинами в n-мерном Евклидовом пространстве, который строится по многочлену от n переменных.

КонструкцияПравить

Предположим

 

есть многочлен от n переменных. Обозначим через   множество всех мультииндексов   таких, что  . По определению многочлена   конечно.

Выпуклая оболочка

 

называется многогранником Ньютона многочлена  .

СвойстваПравить

  • Типичное число ненулевых решений системы полиномиальных уравнений   равно
     
где   многогранник Ньютона многочлена   и   — их смешанный объём.[1][2]

Вариации и обобщенияПравить

  • Многогранник Ньютона — Окунькова — аналогичная конструкция для типичных линейных комбинаций данных многочленов.[3]

ПримечанияПравить

  1. D. N. Bernstein, "The number of roots of a system of equations", Funct. Anal. Appl. 9 (1975), 183–185
  2. A. G. Kouchnirenko, "Polyhedres de Newton et nombres de Milnor", Invent. Math. 32 (1976), 1–31
  3. Andrei Okounkov. Brunn–Minkowski inequality for multiplicities // Inventiones mathematicae. — Т. 125, № 3. — С. 405—411.

ЛитератураПравить