Модель Лотки — Вольтерры

Моде́ль Ло́тки — Вольте́рры (модель Ло́тки — Вольтерра́[1]) — модель взаимодействия двух видов типа «хищник — жертва», названная в честь своих авторов (Лотка, 1925; Вольтерра 1926), которые предложили модельные уравнения независимо друг от друга.

Размер популяции хищников и жертв как функция от времени в модели Лотки — Вольтерры

Такие уравнения можно использовать для моделирования систем «хищник — жертва», «паразит — хозяин», конкуренции и других видов взаимодействия между двумя видами[2].

В математической форме предложенная система имеет следующий вид:

,
,

где  — количество жертв,  — количество хищников,  — время,  — коэффициенты, отражающие взаимодействия между видами.

Решение системы уравнений

править

Постановка задачи

править

Рассматривается закрытый ареал, в котором обитают два вида — травоядные («жертвы») и хищники. Предполагается, что животные не иммигрируют и не эмигрируют, и что еды для травоядных животных имеется с избытком. Тогда уравнение изменения количества жертв (без учёта хищников) принимает вид:

 ,

где   — коэффициент рождаемости жертв,   — величина популяции жертв,   — скорость прироста популяции жертв.

Пока хищники не охотятся, они вымирают, следовательно, уравнение для численности хищников (без учёта численности жертв) принимает вид:

 ,

где   — коэффициент убыли хищников,   — величина популяции хищников,   — скорость прироста популяции хищников.

При встречах хищников и жертв (частота которых прямо пропорциональна величине  ) происходит убийство жертв с коэффициентом  , сытые хищники способны к воспроизводству с коэффициентом  . С учётом этого, система уравнений модели такова:

 .

Решение задачи

править

Нахождение положения равновесия системы

править

Для положения равновесия   изменение численностей популяции равно нулю. Следовательно:

 ,
 ,

из чего следует, что точка равновесия, вокруг которой происходят колебания, определяется следующим образом:

 ,
 .

Малые колебания в системе

править

Рассмотрим поведение малых отклонений численностей от их равновесных значений, то есть изменение во времени   и  . Из-за их малой абсолютной величины, квадратами, кубами и последующими степенями (  и  ) можно пренебречь. Подставляя

 ,
 ,

в уравнения модели, получаем приближенно:

 
 

Дифференцирование одного из этих уравнений и подстановка в другое даёт следующий результат:

 ,
 .

Полученное выражение является дифференциальным уравнением гармонического осциллятора с периодом  .

Конечные колебания в системе

править

Функция

 

постоянна на решениях системы. Действительно:

 

Функция   является суммой двух функций одного переменного:  , где

 

При   функция   неограниченна и имеет один глобальный минимум при  , в то время как при   функция   также неограниченна и имеет один глобальный минимум при  , где   и   равновесные численности. Следовательно, функция   имеет единственный глобальный минимум в точке  , являющейся положением равновесия, а все неравновесные линии уровня   при   замкнуты и отвечают периодическим колебаниям с периодим, который зависит от начальных численностей.

См. также

править

Примечания

править

Ссылки

править