Открыть главное меню
Размер популяции хищников и жертв как функция от времени в модели Лотки — Вольтерры

Моде́ль Ло́тки — Вольте́рры (распространено неправильное[1][нет в источнике] название — модель Ло́тки — Вольтерра́[2]) — модель взаимодействия двух видов типа «хищник — жертва», названная в честь её авторов (Лотка, 1925; Вольтерра 1926), которые предложили модельные уравнения независимо друг от друга.

Такие уравнения можно использовать для моделирования систем «хищник — жертва», «паразит — хозяин», конкуренции и других видов взаимодействия между двумя видами[3].

В математической форме предложенная система имеет следующий вид:

,
,

где  — количество жертв,  — количество хищников,  — время,  — коэффициенты, отражающие взаимодействия между видами.

Содержание

Решение системы уравненийПравить

Постановка задачиПравить

Рассматривается закрытый ареал, в котором обитают два вида — травоядные («жертвы») и хищники. Предполагается, что животные не иммигрируют и не эмигрируют, и что еды для травоядных животных имеется с избытком. Тогда уравнение изменения количества жертв (без учета хищников) принимает вид:

 ,

где   — коэффициент рождаемости жертв,   — величина популяции жертв,   — скорость прироста популяции жертв.

Пока хищники не охотятся, они вымирают, следовательно, уравнение для численности хищников (без учёта численности жертв) принимает вид:

 ,

где   — коэффициент убыли хищников,   — величина популяции хищников,   — скорость прироста популяции хищников.

При встречах хищников и жертв (частота которых прямо пропорциональна величине  ) происходит убийство жертв с коэффициентом  , сытые хищники способны к воспроизводству с коэффициентом  . С учётом этого, система уравнений модели такова:

 .

Решение задачиПравить

Нахождение стационарной позиции системыПравить

Для стационарной позиции   изменение численности популяции равно нулю. Следовательно:

 ,
 ,

из чего следует, что стационарная точка системы, вокруг которой происходят колебания, определяется следующим образом:

 ,
 .

Задание отклонения в системеПравить

При внесении в систему колебаний   и  , из-за малой их величины их квадратами, кубами и последующими степенями ( ) можно пренебречь. Таким образом, популяции   и   с малыми отклонениями описываются следующими выражениями:

 ,
 .

Применяя их к уравнениям модели, следует:

 
 

Дифференцирование одного из этих уравнений и подстановка в другое даёт следующий результат:

 ,
 .

Полученное выражение является пропорциональным уравнением гармонического осциллятора с периодом  .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Все фамилии, кончающиеся на неударное а после согласных, склоняются по первому склонению: Рибера — Риберы, Рибере, Риберу, Риберой, Сенека — Сенеки и т.д.; так же склоняются Кафка, Спиноза, Сметана, Петрарка, Куросава, Глинка, Дейнека, Гулыга, Олеша, Нагнибеда, Окуджава и др. Все такие фамилии, независимо от происхождения, являются морфологически членимыми в русском языке, т. е. в них выделяется окончание . [1]
  2. П. В. Турчин. Лекция № 14. Популяционная динамика
  3. Одум, 1986

СсылкиПравить