Неравенство Гарнака

Неравенство Гарнака — если функция , гармоническая в -мерном шаре радиуса с центром в некоторой точке , неотрицательна в этом шаре, то для её значений в точках внутри рассматриваемого шара справедливы следующие неравенства: , где .

ДоказательствоПравить

В силу формулы Пуассона для точек   внутри шара   имеем  . Учитывая неравенства  , благодаря условию   получим отсюда, что  , или, применяя теорему Гаусса  . Таким образом, переходя к пределу при  , получим неравенство Гарнака  .

ЛитератураПравить

  • Тиман А. Ф., Трофимов В. Н. Введение в теорию гармонических функций, М., Наука, 1968, 206 стр., тир 39500 экз.