Неравенство Гарнака

Неравенство Гарнака — если функция $U(M)=U(x_{1},...,x_{k})$, гармоническая в $k$-мерном шаре $Q_{R}$ радиуса $R$ с центром в некоторой точке $M_{0}$, неотрицательна в этом шаре, то для её значений в точках $M$ внутри рассматриваемого шара справедливы следующие неравенства: $R^{k-2}{\frac {R-r}{(R+r)^{k-1}}}U(M_{0})\leqslant U(M)\leqslant R^{k-2}{\frac {R+r}{(R-r)^{k-1}}}U(M_{0})$, где $r=\rho (M_{0},M)<R$.

Доказательство

В силу формулы Пуассона для точек $M$ внутри шара $Q_{R'}(R'<R)$ имеем $U(M)={\frac {\Gamma (k/2)}{2\pi ^{k/2}R'}}\int \limits _{\gamma }(Q_{R'})U(N){\frac {{R'}^{2}-r^{2}}{({R'}^{2}+r^{2}-2R'r\cos \theta )^{r/2}}}d\sigma$. Учитывая неравенства $(R'-r)^{2}\leqslant {R'}^{2}+r^{2}-2R'r\cos \theta \leqslant (R'+r)^{2}$, благодаря условию $U(N)\geqslant 0$ получим отсюда, что ${R'}^{k-2}{\frac {{R'}^{2}-r^{2}}{(R'+r)^{k}}}{\frac {\Gamma (k/2)}{2\pi ^{k/2}{R'}^{k-1}}}\int \limits _{\gamma }(Q_{R'})U(N)d\sigma \leqslant U(M)\leqslant {R'}^{k-2}{\frac {{R'}^{2}-r^{2}}{(R'-r)^{k}}}{\frac {\Gamma (k/2)}{2\pi ^{k/2}{R'}^{k-1}}}\int \limits _{\gamma }(Q_{R'})U(N)d\sigma$, или, применяя теорему Гаусса ${R'}^{k-2}{\frac {{R'}^{2}-r^{2}}{(R'+r)^{k}}}U(M_{0})\leqslant U(M)\leqslant {R'}^{k-2}{\frac {{R'}^{2}-r^{2}}{(R'-r)^{k}}}U(M_{0})$. Таким образом, переходя к пределу при $R'\rightarrow R$, получим неравенство Гарнака $R^{k-2}{\frac {R-r}{(R+r)^{k-1}}}U(M_{0})\leqslant U(M)\leqslant R^{k-2}{\frac {R+r}{(R-r)^{k-1}}}U(M_{0})$.

Литература

• Тиман А. Ф., Трофимов В. Н. Введение в теорию гармонических функций, М., Наука, 1968, 206 стр., тир 39500 экз.