Неравенство Гарнака
Неравенство Гарнака — если функция , гармоническая в -мерном шаре радиуса с центром в некоторой точке , неотрицательна в этом шаре, то для её значений в точках внутри рассматриваемого шара справедливы следующие неравенства: , где .
Доказательство
правитьВ силу формулы Пуассона для точек внутри шара имеем . Учитывая неравенства , благодаря условию получим отсюда, что , или, применяя теорему Гаусса . Таким образом, переходя к пределу при , получим неравенство Гарнака .
Литература
править- Тиман А. Ф., Трофимов В. Н. Введение в теорию гармонических функций, М., Наука, 1968, 206 стр., тир 39500 экз.
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |