Неравенство Пу

Неравенство Пу даёт нижнюю оценку на площадь проективной плоскости с римановой метрикой через длину кратчайшей нестягиваемой замкнутой кривой. Является одним из фундаментальных утверждений систолической геометрии.

Неравенство доказал Баомин Пу в своей диссертации защищённой под руководством Чарльза Левнера

Формулировки

Оригинальная

Пусть $g$ есть риманова метрика на вещественной проективной плоскости $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}$. Тогда

$S\geq {\frac {2}{\pi }}\cdot \ell ^{2},$

где $S$ — площадь $(\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2},g)$, a $\ell$ — его ситоль, то есть длина кратчайшей нестягиваемой кривой в $(\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2},g)$.

Более того равенство достигается только для канонической метрики с точностью до умножения на положительную постоянную.

Через филинг-объём

Филинг окружности длины $2{\cdot }\pi$ диском имеет площадь не меньше чем площадь полусферы. Более того, в случае равенства диск изометричен полусфере.

Замечание

• Гипотеза Громова состоит в том, что тоже неравество выполняется для произвольных филингов (не обязательно гомеоморфных диску).

Литература

• Mikhael; Gromov. Filling Riemannian manifolds (неопр.) // J. Differential Geom.. — 1983. — Т. 18, № 1. — С. 1—147.
• Gromov, Mikhael (1996). Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992). Vol. 1. pp. 291–362. MR 1427752.
• Gromov, Misha. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces (англ.). — 1999. — Vol. 152.
• Katz, Mikhail G. Systolic geometry and topology (неопр.). — 2007. — Т. 137.
• Pao Ming; Pu. Some inequalities in certain nonorientable Riemannian manifolds (англ.) // Pacific J. Math. : journal. — 1952. — Vol. 2, no. 1. — P. 55—71.