Обобщённый интеграл энергии

Обобщённый интеграл энергии — интеграл уравнений Лагранжа голономной механической системы в случае не зависящей от времени функции Лагранжа. Также называется интегралом Якоби. Всегда существует, если силы потенциальны, а функция Лагранжа явно от времени не зависит.

Формулировка

Уравнения Лагранжа голономной механической системы c независящей от времени функцией Лагранжа

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}=0$

имеют обобщённый интеграл энергии:

$h=\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m}-L$

Вывод

Рассмотрим голономную систему, имеющую $s$ степеней свободы, с функцией Лагранжа

$L=L(q_{m},{\dot {q}}_{m},t)$,

зависящей от обобщённых координат $q_{m}$, обобщённых скоростей ${\dot {q}}_{m}$ и времени $t$, здесь и ниже всюду $m=1,2,...,s$.

Дифференцируя по времени функцию $L(q_{m},{\dot {q}}_{m},t)$, получаем

${\frac {dL}{dt}}=\sum _{m=1}^{s}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}{\dot {q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q}}_{m}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}$.

Из уравнений Лагранжа

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}=0$

следует, что

${\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)$.

Тогда получаем:

${\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}{\dot {q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q}}_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right){\dot {q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q}}_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m}\right)$.

Пользуясь этим, имеем:

${\frac {dL}{dt}}=\sum _{m=1}^{s}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}{\dot {q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q}}_{m}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}={\frac {d}{dt}}\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial t}}$

Или:

${\frac {d}{dt}}\left(\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m}-L\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}=0$.

Если функция Лагранжа явно не зависит от времени, то ${\frac {\partial L}{\partial t}}=0$ и ${\frac {d}{dt}}\left(\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m}-L\right)=0$

Из этого следует:

$\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m}-L=h$

Это выражение называется обобщённым интегралом энергии, или интегралом Якоби.

Литература

• Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику. — М.: Наука, 1971. — 264 с.